치환 적분: 두 판 사이의 차이

===대칭함수의 적분===

{{참고|홀함수와 짝함수}}

#<math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#짝함수|짝함수]]라면 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이다.

#<math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#홀함수|홀함수]]라면 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=0</math>이다.

;증명:<math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( t\right) dt+\int^0_{-a}f\left( t\right) dt=-\int^{-a}_0f\left( t\right) dt+\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이므로 첫항을 <math>x=g\left( t\right) =-t</math> 치환을 한다면<ref>새로운 함수 <math>h\left( t\right) =f\left( -t\right)</math>를 잡아주면 <math>g'\left( t\right) =-1</math>이므로 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{-a}_0h\left( -t\right) dt=-\int^{-a}_0h\left( g\left( t\right)\right) g'\left( t\right)dt</math>이므로 위에서 보인바와 같이 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=\int^{g\left( -a\right)}_{g\left( 0\right)}h\left( x\right) dx</math><math>=\int^a_0h\left( x\right) dx</math>이다. <math>h\left( t\right) =f\left( -t\right)</math>이므로 <math>\int^{-a}_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( -x\right) dx</math>이다.</ref> <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=-\left( -\int^a_0f\left( -x\right) dx\right) +\int^a_0f\left( t\right) dt</math><math>=\int^a_0f\left( -x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt</math>을 얻을 수 있다.</br><math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#짝함수|짝함수]]라면 <math>f\left( -x\right) =f\left( x\right)</math>이므로 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=2\int^a_0f\left( t\right) dt</math>이고<ref>'''주의''': [[부정적분]]의 경우 <math>x</math>와 <math>t</math>가 종속변수라면 <math>x=t</math>가 아닌이상 <math>\int f\left( t\right) dt\ne\int f\left( x\right) dx</math>이다. 하지만 [[정적분]]의 경우 결과는 함수가 아닌 숫자이므로 관계가 없다.</ref></br><math>f</math>가 [[홀함수와 짝함수#홀함수|홀함수]]라면 <math>f\left( -x\right) =-f\left( x\right)</math>이므로 <math>\int^a_{-a}f\left( t\right) dt=\int^a_0-f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=-\int^a_0f\left( x\right) dx+\int^a_0f\left( t\right) dt=0</math>이다.<ref>[[치환적분#cite_note-2|위]]와 마찬가지</ref>

== 사용 예 ==

==주석==