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[[복소해석학]]에서 '''리우빌의 정리'''(Liouville's theorem)는 만약 <math> f </math> 가 [[유계]](bounded)인 [[전해석함수]]이면 <math> f </math> 는 상수함수가 된다는 내용의 [[수학]] 정리이다. 다시 말하면: 전해석함수 <math> f </math> 에 대해 [[복소평면]] 위의 모든 점 <math> z </math> 에서 <math> |f (z) |\le M </math> 이 되게 하는 양수 <math> M </math> 이 존재하면 <math> f </math> 는 반드시 상수이어야 한다.
[[피카르의 소정리]](Picard's little theorem)는 서로 다른 둘 이상의 복소수를 함수값으로 갖지 않는 모든 전해석함수는 상수라는 내용이다. 즉 모든 복소수<math> z </math>에 데해 <math> f(z)\neq a </math>, <math> f(z)\neq b </math> 인 서로 다른 두 복소수 <math> a, b </math> 가 존재하면 <math> f </math> 는 반드시 상수이어야 한다. 이 정리는 리우빌의 정리를 크게 발전시킨 더 넓은 의미의 정리이다.
== 증명 ==
<math> f </math> 는 [[전해석함수]]이므로 <math> z=0 </math> 에서 [[테일러 급수]]
: <math>f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>
로 나타낼 수 있다. 그런데 위 급수에서 계수 <math> a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}</math> 이므로 [[코시의 적분공식]]에 의해
:<math>
</math>
와 같이 쓸 수 있다. 여기서 ''C''<sub>''r''</sub> 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 ''r'' > 0 인 원을 나타낸다.
그러므로 주어진 조건 <math> |f (\zeta) |\le M </math>을 이용하면 부등식
:<math>
[[분류:복소해석학]]
[[분류:해석학 정리]]
[[bg:Теорема на Лиувил]]
[[cs:Liouvilleova věta (komplexní analýza)]]
[[da:Liouvilles sætning]]
[[de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)]]
[[en:Liouville's theorem (complex analysis)]]
[[es:Teorema de Liouville (análisis complejo)]]
[[fi:Liouvillen lause]]
[[fr:Théorème de Liouville (variable complexe)]]
[[he:משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)]]
[[it:Teorema di Liouville (analisi complessa)]]
[[ja:リウヴィルの定理 (解析学)]]
[[nl:Stelling van Liouville]]
[[pl:Twierdzenie Liouville'a (analiza zespolona)]]
[[pt:Teorema de Liouville]]
[[ru:Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях]]
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[[sv:Liouvilles sats]]
[[tr:Liouville teoremi (karmaşık analiz)]]
[[uk:Теорема Ліувіля (комплексний аналіз)]]
[[zh:刘维尔定理 (复分析)]]
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