모듈러 형식: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
'''모듈러 형식''' <math>f\colon\mathbb H\to\mathbb C</math>는 열린 복소 반평면 <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math> 위에 정의된, 다음 공리들을 만족시키는 [[정칙함수]]다.
* (S변환) 어떤 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>f(-1/z)=z^kf(z)</math>이다. 이 <math>k</math>를 <math>f</math>의 '''무게'''({{lang|en|weight}})라고 한다.
* (T변환) <math>f(1+z)=f(z)</math>이다.
* (뾰족점에서의 정칙성) <math>f(z)</math>는 <math>z\to i\infty</math>에서 [[정칙함수]]다. 즉, <math>f(z)</math>는 다음과 같은 [[푸리에 급수]]로 쓸 수 있다.
::<math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n\exp(2\pi iz)</math>
:여기서 <math>c_0=f(i\infty)</math>에 해당한다. <math>z=i\infty</math>를 '''뾰족점'''({{lang|en|cusp}})이라고 하며, <math>c_0=0</math>인 모듈러 형식을 '''뾰족점 형식'''({{llang|en|cusp form}})이라고 한다.
보다 일반적으로, 정칙성 공리를 약화시켜 <math>f</math>가 반평면 위에서 [[유리형함수]]이어야 한다는 조건을 가할 수도 있다.
'''모듈러 함수'''는 위 세 공리를 만족시키고, 반평면 위에서 [[유리형함수]]이고, 무게가 0인 함수다. (반평면 위에서 정칙함수인 모듈러 함수는 [[상수함수]]밖에 없다.)
{{토막글|수학}}
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