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펑터의 개념은 [[대수적 위상수학]]에서 [[위상공간 (수학)|위상공간]]에 대해 [[기본군]] 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 펑터의 개념을 사용한다. "Functor"(펑터)라는 단어는 철학자 [[루돌프 카르납]](Rudolf Carnap)으로부터 수학자들이 빌려쓴 것이다.<ref>Saunders Mac Lane, 《Categories for the Working Mathematician》, Springer-Verlag, 1971, 20쪽</ref>
== 정의 ==
C와 D가 [[범주 (수학)|범주]]라 하자. 이때 F가 C에서 D로의 '''펑터'''라는 것은
* C의 임의의 대상 X에 대해 D의 대상 F(X)가 대응되며,
* C의 임의의 사상 f:X -> Y에 대해 D의 사상 F(f):F(X) -> F(Y)가 대응되고,
* C의 임의의 대상 X에 대해 <math>F(id_{X}) = id_{F(X)}</math>이며,
* C의 임의의 사상 <math>f:X \rightarrow Y</math>와 <math>g:Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)</math>임을 말한다.
즉, 펑터는 항등사상과 사상의 합성을 보존한다. 정의역과 공역이 같은 범주인 펑터를 '''자기펑터'''(endofunctor)라고 한다.
=== 공변성과 반변성 ===
수학에서는 사상의 방향을 바꾸는 펑터를 생각해야 하는 경우도 많이 있다. 따라서 F가 C에서 D로의 '''반변펑터'''(contravariant functor)라는 것을 다음의 경우로 정의한다:
* C의 임의의 대상 X에 대해 D의 대상 F(X)가 대응되며,
* C의 임의의 사상 f:X -> Y에 대해 D의 사상 F(f):F(Y) -> F(X)가 대응되고,
* C의 임의의 대상 X에 대해 <math>F(id_{X}) = id_{F(X)}</math>이며,
* C의 임의의 사상 <math>f:X \rightarrow Y</math>와 <math>g:Y\rightarrow Z</math>에 대해 <math>F(f \circ g) = F(g) \circ F(f)</math>이다.
반변펑터가 합성사상을 보낼 때 두 사상의 순서가 바뀜에 주의하라. 위에서 정의한 사상의 방향을 바꾸지 않는 보통의 펑터는 반변펑터와 구분하기 위해 '''공변펑터'''(covariant functor)라고 한다. 다른 방법으로, 범주의 반변펑터라는 것을 그 [[쌍대범주]]의 공변펑터로 정의할 수도 있다. 일부 저자들은 모든 펑터를 공변적으로 서술하는 쪽을 선호하며, 따라서 <math>F: C\rightarrow D</math>가 반변펑터라고 말하는 대신 <math>F: C^{op} \rightarrow D</math>(혹은 <math>F:C \rightarrow D^{op}</math>)가 펑터라고 말한다.
== 예 ==
'''상수 펑터''': C의 모든 대상에 대해 D의 특정한 대상 X를 대응시키고, C의 모든 사상에 대해 X 상의 항등사상을 대응시키는 펑터를 '상수 펑터' 혹은 '선택 펑터'라고 한다.
'''대각 펑터''': D의 대상 X를 X 상의 상수 펑터로 보내는 펑터를 [[대각 펑터]]라고 한다. 이는 D에서 펑터 범주 D<sup>C</sup>로의 펑터이다.
== 참고자료 ==
<references/>
[[분류:펑터| ]]
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