분배법칙: 두 판 사이의 차이
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: 4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)
을 일반화 시킨 것이다.
== 분배법칙의 정의 ==
주어진 집합 '''S''' 와 '''S'''에 대한 두 [[이항연산]] • 와 + 에 대해, 만약 연산 • 이
* '''S'''의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
::x • (y + z) = (x • y) + (x • z);
: 이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 '''좌분배법칙'''(left-distributive)이 성립한다고 한다.
* '''S'''의 임의의 원소 x, y, z 에 대해
:: (y + z) • x = (y • x) + (z • x);
: 이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 '''우분배법칙'''(right-distributive)이 성립한다고 한다.
* 연산 + 에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하면 연산 • 는 연산 + 에 대해 '''분배법칙'''이 성립한다고 한다.
만약 연산 • 에 대해 [[교환법칙]]이 성립하면 위의 세 조건은 모두 논리적으로 동일하다.
== 분배법칙의 예 ==
* 임의의 [[자연수]], [[정수]], [[유리수]], [[실수]], [[복소수]]의 곱셈 ×은 덧셈 ＋에 대해 분배법칙이 성립한다.
* [[합집합]] 연산 ∪은 [[교집합]] 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하고, [[교집합]] 연산 ∩은 [[합집합]] 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성립한다. 또한, [[교집합]] 연산은 [[대칭자]] 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
* 임의의 [[실수]] (또는 임의의 [[완전 순서집합]]) ''a, b, c'' 에 대해, [[최대값]] 연산 max은 [[최소값]] 연산 min에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: max(''a'', min(''b, c'')) = min(max(''a, b''),max(''a, c''))
:: min(''a'', max(''b, c'')) = max(min(''a, b''),min(''a, c''))
* 임의의 [[정수]] a, b, c에 대해, [[최대공약수]] 연산 gcd는 [[최소공배수]] 연산 lcm에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.
:: gcd(''a'', lcm(''b, c'')) = lcm(gcd(''a, b''),gcd(''a, c''))
:: lcm(''a'', gcd(''b, c'')) = gcd(lcm(''a, b''),lcm(''a, c''))
* 임의의 [[실수]] a, b, c 에 대해, 덧셈 ＋은 최댓값 연산 max 와 최솟값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립한다.
:: ''a'' + max(''b, c'') = max(''a'' + ''b, a'' + ''c'')
:: ''a'' + min(''b, c'') = min(''a'' + ''b, a'' + ''c'')
{{토막글|수학}}
[[분류:이항연산]]
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