P진수: 두 판 사이의 차이
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[[수론]]에서, '''p진수'''(p進數, ''p''-adic number)는
보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체 '''Q'''<sub>''p''</sub>는 유리수체 '''Q'''의 [[완비 거리공간|완비화]]이다. 또한 '''Q'''<sub>''p''</sub>에는 p진 [[부치]](valuation)가 주어져 있기에 [[거리공간]]이 되며 따라서 [[위상공간 (수학)|위상공간]]이기도 하다. 이 거리공간은 [[완비 거리공간|완비]](즉, 모든 [[코시 수열]]이 수렴한다)이며, 그렇기에 '''Q'''<sub>''p''</sub> 상에서 마치 실수체 '''R''' 상에서와 같은 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 [[대수학|대수적]] 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.▼
== 개론 ==
유리수체를 p진체로 확장하는 과정은 [[절대값]]이라는 개념을 새롭게 해석하여 나오는 것이다. p진수는 [[멱급수]]의 개념을 수론에 적용시키려는 시도에서 나왔다. 현재 p진수는 초기의 목적에 비해 훨씬 더 다양한 분야에서 사용되고 있다. 예를 들어 [[p진 해석학]]은 [[미적분학]]의 p진법 버전이라 할 수 있다.▼
[[유리수체]] <math>\mathbb Q</math>는 표준 [[노름]] <math>|a/b|</math>에 대하여 [[완비 거리공간]]을 이루지 않는다. 따라서, 이에 대하여 [[코시 수열]]들의 [[동치류]]들을 취하여 이를 완비화할 수 있는데, 이렇게 하여 [[실수체]] <math>\mathbb R</math>을 얻는다. 유리수체의 표준 노름은 매우 유용하지만, 원하면 유리수체에 다른 노름을 줄 수도 있다. 이러한 노름에 대하여 완비화하면 다른 체를 얻게 된다. p진수는 이렇게 정의되는 체 가운데 하나다.
수론에서, 유리수들을 어떤 주어진 [[소수 (수론)|소수]] ''p''에 대한 형식적인 단항식으로 취급하게 되는 경우가 있다. 모든 0이 아닌 유리수는 <math>p^n(a/b)</math> (<math>a</math>와 <math>b</math>는 <math>p</math>로 나누어떨어지지 않음)의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 예를 들어, <math>p=7</math>이라고 하자. 그렇다면,
▲보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체 '''Q'''<sub>''p''</sub>는 유리수체 '''Q'''의 [[완비 거리공간|완비화]]이다. 또한 '''Q'''<sub>''p''</sub>에는 p진 [[부치]](valuation)가 주어져 있기에 [[거리공간]]이 되며 따라서 [[위상공간 (수학)|위상공간]]이기도 하다. 이 거리공간은 [[완비 거리공간|완비]](즉, 모든 [[코시 수열]]이 수렴한다)이며, 그렇기에 '''Q'''<sub>''p''</sub> 상에서 마치 실수체 '''R''' 상에서와 같은 [[해석학 (수학)|해석학]]을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 [[대수학|대수적]] 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다.
:<math>28/5=7\times(4/5)</math>
:<math>-15/98=7^{-2}\times(-15/2)</math>
이는 "변수" <math>p=7</math>에 대한 단항식 <math>(4/5)p</math> 또는 <math>-(15/2)p^{-2}</math>와 유사하게 생각할 수 있다. 이제, <math>p</math>를 일종의 [[무한소]]로 취급하면, <math>p</math>의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "작고", <math>p^{-1}</math>의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 "크다"고 생각할 수 있다.
이와 같이 유리수체 <math>\mathbb Q</math> 위에 <math>p</math>의 인수를 더 많이 포함할 수록 더 노름이 작아지는 [[노름]]을 정의할 수 있다. p진체는 유리수체를 이 노름에 대하여 완비화한 체이다.
== 역사 ==
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== 정의 ==
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