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'''정치행렬정부호행렬'''(定符號行列, '''정부호{{llang|en|definite 행렬'''matrix}})은 [[에르미트 행렬]]의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 [[부호 (수학)|부호]]를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.
== 정의 ==
[[에르미트 행렬]]의 [[고유값]]은 항상 [[실수]]다. [[에르미트 행렬]] <math>M</math>은 그 [[고유값]]의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.
[[복소수]]* 위에서의모든 [[에르미트고유값이 행렬]]음수가 <math>M</math>이아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x > 0\ge0</math>을 만족할인 경우 이 행렬은 '''양정치행렬''', '''양의 정부호 행렬'''(positive-definite matrix)이라고 정의한다. 반대로, 항상 <math>x^* M x < 0</math>일 경우는은 '''음정치행렬''',양의 '''음의 정부호 행렬준정부호행렬'''(negative陽-definite準定符號行列, {{llang|en|positive-semidefinite matrix}})이라고 정의한다이다.
** 모든 고유값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x > 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''양의 정부호행렬'''(陽-定符號行列, {{llang|en|positive-definite matrix}})이다.
또한, <math>x^* M모든 x고유값이 \ge양수가 0</math>를 만족할아닌 경우 이 행렬은 '''양반정치행렬'''(즉, '''양의0이 준정부호아닌 행렬'''(positive-semidefinite모든 matrix,벡터 nonnegative-definite matrix),<math>x</math>에 마찬가지로대해 <math>x^* M x \le 0le0</math>의인 경우는경우) '''음반정치행렬''',<math>M</math>은 '''음의 준정부호 행렬준정부호행렬'''(陰-準定符號行列, {{llang|en|negative-semidefinite matrix}})이라고 정의한다이다.
** 모든 고유값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x < 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''음의 정부호 행렬'''(陰-定符號行列, {{llang|en|negative-definite matrix}})이다.
* 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고유값을 둘 다 가진 경우) <math>M</math>은 '''부정부호행렬'''(不定符號行列, {{llang|en|indefinite matrix}})이다.
양반정치행렬도 아니고 음반정치행렬도 아닌 경우는 '''부정부호 행렬'''(indefinite matrix)이라고 정의한다.
실수체에서 정의하는 경우, [[에르미트 행렬]] 대신 [[대칭행렬]] <math>M</math>, [[켤레전치]] <math>x^*</math>대신 [[전치행렬|전치]] <math>x^T</math>를 사용한다.
== 예제 ==
행렬 <math> M_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} </math>은 정치행렬이다양의 정부호행렬이다. 모든 복소수 벡터 <math>x = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}</math>에 대해, <math> \begin{bmatrix} \bar{x_0} & \bar{x_1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1\end{bmatrix}= \bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1}</math>이 되고, <math>x_0</math>이나 <math>x_1</math>이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 <math>\bar{x_0}x_0 + \bar{x_1}{x_1} = x_0^2 + x_1^2</math>가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.
반면, <math> M_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} </math>은 정치행렬이 아니다부정부호행렬이다. <math>x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix}</math>에 대해서 <math>x^* M x = -2</math>가 되기 때문이다.
== 성질 ==
<math>n \times n</math> 복소수 정치행렬양의 정부호행렬 <math>M</math>에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다. ▼
▲<math>n \times n</math> 복소수 정치행렬 <math>M</math>에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.
* [[고유값]]이 모두 양수이다.
* 임의의 두 벡터 <math>x, y</math>에 대해 <math><x, y> = x^* M y</math>로 [[내적공간|내적]]을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터공간 <math>\mathbb{C}^n</math>에서 정의할 수 있는 내적은 모두 정치행렬에 양의 정부호행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
* <math>M</math>은 [[그람 행렬]]이다. 즉, 어떠한 [[선형 독립]]인 벡터 <math>x_1, \cdots, x_n</math>가 존재하여, <math>M_{ij} = x_i^*x_j</math>가 성립한다.
* <math>M = L L^*</math>이 성립하는 [[삼각행렬|하삼각행렬]] <math>L</math>이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 [[촐레스키 분해]]라고 부른다.
[[분류:행렬]]
[[de:Definitheit#Definitheit von Matrizen]]
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