단조 수렴 정리: 두 판 사이의 차이
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[[해석학]]에서, '''단조수렴정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 단조증가하거나 단조감소하는 수열이 특정한 조건에 대해 수렴하는 것에 대한 정리이다. 여러 경우에 대한 단조수렴정리가 존재하며, 예를 들어 [[실수]]열 실수열 급수, 혹은 [[측도]] 수열 등에 대한 정리가 각각 존재한다.
== 실수 단조수열의 수렴 ==
만약 ''a<sub>k</sub>''이 실수로 이루어진 단조[[수열]](예를 들어 만약 ''a<sub>k</sub>'' ≤ ''a''<sub>''k''+1</sub>일 때)이라면, 이 수열은 극한값(양의 [[무한]], 음의 무한 포함)을 갖는다. 극한값이 유한할 필요충분조건은 이 수열이 [[유계]]여야한다.<ref>John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65. 이 정리보다 일반적인 정리의 증명이 실려있다.</ref>
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== 단조 급수의 수렴 ==
자연수 ''j'', ''k''에 대하여, ''a''<sub>''j'',''k''</sub>가 음이 아닌 실수이고, ''a''<sub>''j'',''k''</sub> ≤ ''a''<sub>''j''+1 ,''k''</sub> 이면, 다음 식이 성립한다.<ref>{{서적 인용|저자=J Yeh|제목=Real analysis. Theory of measure and integration|쪽=168|발행년도=2006}}</ref>
:<math>\lim_{j\to\infty} \sum_k a_{j,k} = \sum_k \lim_{j\to\infty} a_{j,k}</math>
== 르베그 단조수렴정리 ==
이 정리는 앞에서 언급한 정리를 보다 일반화 한 것이며, 단조수렴정리들 중에서도 가장 중요한 정리중 하나이다. 정리의 이름은 [[앙리 르베그]]에서 유래하였으며, [[베포 레비]] 정리로도 불린다. 이 정리는 다음과 같다.
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