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1번째 줄: [[동역학계]] 이론에서, '''랴푸노프 안정성'''(Ляпунов安定性, {{llang\|en\|Lyapunov stability}})은 [[동역학계]]의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 '''점근적 안정성'''(漸近的安定性, {{llang\|en\|asymptotic stability}})과 '''지수적 안정성'''(指數的安定性, {{llang\|en\|exponential stability}})이 있다. [[동역학계]]을 표현하는 미분 방정식의 해의 안정성에는 다양한 형태가 있다. 가장 중요한 형태는 어떤 평형점 주변의 해에 관한 것이다. 이는 [[랴푸노프 이론]]으로 고려할 수 있다. 간단히 말해, 만일 임의의 평형점 <math>x_e</math> 부근에서 시작하는 해당 동적 시스템의 모든 해가 영원히 <math>x_e</math> 주변에 머무른다면, <math>x_e</math>는 '''랴푸노프 안정'''하다 라고 말한다. 더 나아가, 만일 <math>x_e</math> 가 랴푸노프 안정이고, <math>x_e</math> 부근에서 시작하는 모든 해가 <math>x_e</math> 로 수렴한다면, <math>x_e</math>는 '''점근적으로 안정'''하다. '''지수적으로 안정'''하다면, 최소 감소율, 즉, 얼마나 빨리 해가 수렴할지에 대한 추정치가 보증된다. 랴푸노프 안정성 개념은 무한 차원 매니폴드로도 확장될 수 있는데, 이는 [[구조적 안정성]]으로 알려져 있으며, 미분방정식의 다르지만 "가까이 있는" 해의 거동에 관한 것이다. 입력->상태 안정성은 랴푸노프 개념을 입력이 있는 시스템에 적용하는 것이다. == 정의 == 다음과 같은 자율 동역학계가 주어졌다고 하자. :<math>x(t)\in\mathcal D\subseteq\mathbb R^n</math> :<math>\dot{ x}(t) = f(x(t))~~, \;\;\;\; x(0) = x_0~~</math>▼ :<math>x(0)=x_0</math> 여기서 <math>~~x(t)~~ \inmathcal ~~\mathcal{~~D~~} \subseteq \mathbb{R}^n~~</math> 는 ~~시스템 상태 벡터,~~ <math>~~\mathcal{D}~~x_0</math>을 ~~는 원점을 포함 하는~~포함하는 열린 집합집합이며, ~~그리고~~ <math>f: \mathcal~~{D}~~ D\~~rightarrow~~ to\mathbb{ R}^n</math> 는 <math>\mathcal{ D}</math> ~~상에서 지역적으로~~위에서 [[리프시츠 연속]]이다이라고 하자. 또한, <math>f</math> 는 평형점 <math>~~x_e~~0\in\mathcal D</math> 를 갖는다고 ~~가정한다~~가정하자. 즉,▼ :<math>f(0)=0</math> 이다. (만약 평형점 <math>x=x_e</math>가 원점이 아닌 경우,<math>x-x_e = y</math>로 치환하여, 항상 평형점을 원점으로 놓을 수 있다.) 이 경우, 이 자율 동역학계의 평형점 <math>x=0</math>의 안정성은 다음과 같은 용어로 표현할 수 있다. * 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\\|x(0)\\|<\delta</math>이라면 <math>\sup_{t\ge0}\\|x(t)\\|<\epsilon</math>인 <math>\delta>0</math>가 존재한다면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''랴푸노프 안정'''하다고 한다. #* 해당만약 ~~평형점이~~평형점 <math>x=0</math>이 랴푸노프 ~~안정이고~~안정하고, 또한 <math>\\|x(0)~~-x_e~~ \\|< \delta</math> 이면 <math>\lim_{t \~~rightarrow~~ to\infty} \\|x(t)~~-x_e~~\\| = 0</math> 인 <math>\delta > 0</math> 가 존재하면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''~~점근적~~점근적으로 안정'''이다하다고 한다.▼ #* 위만약 ~~시스템의~~평형점 ~~해당 평형점이~~<math>x=0</math>이 점근적으로 ~~안정이고~~안정하고, <math>0<\\|x(0)~~-x_e~~\\| < \delta</math> 이면 <math>\sup_{t\ge0}\exp(\beta t)\\|x(t)~~-x_e~~\\| ~~\leq \alpha\~~/\|x(0)~~-x_e\~~\|~~e^{-~~ \~~beta t}~~le\alpha</math> 인 <math>\alpha, \beta, \delta >0</math> 가 존재한다면, 평형점 <math>~~t \geq~~ x=0</math> ~~에 관하여 존재하면~~이 '''지수적으로 안정'''하다고 이다한다.▼ 대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다. ~~# 어떤 평형점이~~* 랴푸노프 ~~안정이라면~~안정 ~~해당 평형점에~~평형점에서 "충분히 가까이" (<math>\delta</math> 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" (<math>\epsilon</math> 이내의 거리에) 머문다. ~~중요한 것은~~또한, 모든허용 오차 <math>\epsilon </math>~~에 대해~~을 이임의로 ~~명제가~~줄일 ~~참이라는~~수 ~~것이다~~있다.▼ #* 점근적 ~~안정이라면,~~안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐뿐만 아니라 결국 해당 평형점으로 수렴한다.▼ * 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 수렴할 뿐만 아니라, 적어도 어떤 알려진 비율을 따라 수렴한다. == 랴푸노프 함수 == 동역학계의 평형점의 안정 여부는 '''랴푸노프 함수'''({{llang\|en\|Lyapunov function}})라는 함수를 찾아 증명할 수 있다.<ref name=khalil> Khalil, H. K., ''Nonlinear Systems'', 3rd ed., Prentice Hall, New Jersey, 2002, ISBN 0130673897.</ref>~~===~~▼ ~~주어진 시스템~~동역학계 <math>\dot{ x} = f(x)</math>의 [[평형점]]이 <math>~~x_{e}~~x_e = 0</math>이라 하자 ~~(그렇지 않은 경우 <math>x-x_{e} = y</math>로 치환한다)~~. 그리고 <math>\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^{n}</math>을 <math>x=0</math>을 포함하는 [[정의역]]으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 <math>V \colon \mathcal{ D} \to \mathbb{R}</math>을 고려하자.▼ :<math>V(0) &= 0 \text{ and } V(x)>0,\, \forall x \in (\mathcal{ D~~} -~~ \setminus\{0\}~~),\\~~</math>▼ :<math>\dot{ V}(x) &\~~le 0,~~ge0\, ;\forall x \in \mathcal{ D}.</math>▼ 그러면 <math>x=0</math>은 랴푸노프 안정하다. 만약 <math>\dot{ V}(x) < 0,\; \forall x \in (\mathcal{D} - \{0\})</math>이라면 <math>x=0</math>은 점근적으로 안정하다. 이러한 함수 <math>V</math>를 '''랴푸노프 함수'''({{llang\|en\|Lyapunov function}})라고 한다.▼ == 역사 == 랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 [[알렉산드르 랴푸노프]]의 이름을 ~~딴 것이다~~땄다. 그는랴푸노프는 ~~러시아의~~1982년 ~~수학자 가운데 한사람으로서,~~저서 "《움직임의 안정성에 관한 일반 문제~~"라는 책을 1892년 출판하였다.~~》<ref name=lyapunov>[[알렉산드르_랴푸노프\|Lyapunov, A. M.]] ''The General Problem of the Stability of Motion'' (In Russian), Doctoral dissertation, Univ. Kharkov 1892 English translations: (1) ''Stability of Motion'', Academic Press, New-York & London, 1966 (2) ''The General Problem of the Stability of Motion'', (A. T. Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992. Included is a biography by Smirnov and an extensive bibliography of Lyapunov's work. </ref>에서 최초로 비선형 동역학계의 어떤 평형점 근처에서의 선형화를 다뤘다. 이 책은 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다. ~~</ref>~~ 랴푸노프프는 최초로 비선형 시스템을 어떤 평형점 부근에서 선형화하는 것에 기반하는 안정성의 선형 이론을 고려하였다. 그의 저작은 최초에는 러시아어로 출판되었고, 그 후 프랑스어로 번역되었는데, 오랫동안 주목을 받지 못하였다. 그에 관한 관심은 [[냉전]] 시절에 갑자기 시작되었는데, 이를 소위 "랴푸노프 제 2 방법" 이 항공우주 [[유도 시스템]]의 안정성에 적용 가능하다는 것을 알게된 때이다. 이러한 시스템은 보통 심한 비선형성을 포함하고 있어 다른 방법으로는 다룰 수 없다. 다수의 연구논문이 그 때 그리고 그 이후 제어와 시스템 문헌에 출현하였다.<ref name=letov> 랴푸노프 이론은 [[냉전]] 시절에 항공우주 [[유도 시스템]]의 안정성을 다루기 위해 학계에서 주목받기 시작하였다. 이러한 동역학계는 보통 심하게 비선형적이어서, 랴푸노프 제2 방법 이외로는 쉽게 다룰 수 없다. 이후 관련 분야들이 [[제어 이론]] 및 [[동역학계]] 관련 문헌에서 널리 다뤄지고 있다.<ref name=letov> Letov, A. M., ''Stability of Nonlinear Control Systems'' (Russian) Moscow 1955 (Gostekhizdat); English tr. Princeton 1961.</ref><ref name=rudolf1960> [[:en:R._E._Kalman\|Kalman, R. E.]]; Bertram, J. F., "Control system analysis and design via the second method of Lyapunov", ''J. Basic Engrg'', vol. 88, pp. 371-394, 1960.</ref><ref name=lasalle> 줄 13 ⟶ 40: [[:en:R._E._Kalman\|Kalman, R. E.]], "Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control", ''Proc Nat Acad.Sci USA'', vol. 49, no. 2, pp. 201-205, 1963. </ref> 더욱 최근에는 ~~랴푸노프 지수 (~~랴푸노프의 제제1 1방법에서 ~~방법에~~쓰이는 ~~관련)~~랴푸노프 가지수가 [[혼돈 이론]]~~과의 관련성으로 너른~~에서 ~~관심을~~응용되고 ~~받았다~~있다. ==참고 문헌==▼ ~~== 연속 시간 시스템을 위한 정의 ==~~ {{주석}} ~~다음과 같은 자율 비선형 동적 시스템을 고려할 수 있다.~~ == 바깥 고리 == ▲:<math>\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(0) = x_0</math> * {{eom\|title=Lyapunov stability}} ▲여기서 <math>x(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n</math> 는 시스템 상태 벡터, <math>\mathcal{D}</math> 는 원점을 포함 하는 열린 집합, 그리고 <math>f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> 는 <math>\mathcal{D}</math> 상에서 지역적으로 [[리프시츠 연속]]이다. <math>f</math> 는 평형점 <math>x_e</math> 를 갖는다고 가정한다. # 만일 모든 <math>\epsilon > 0</math> 가 다음을 만족시키는 <math>\delta = \delta(\epsilon) > 0</math>, 즉, 모든 <math>t \geq 0</math>에서 <math>\\|x(0)-x_e\\| < \delta</math> 이면 <math>\\|x(t)-x_e\\| < \epsilon</math> 가 되는 <math>\delta </math>를 가진다면 위 시스템의 해당 평형점은 '''랴푸노프 안정'''이다. ▲# 해당 평형점이 랴푸노프 안정이고 <math>\\|x(0)-x_e \\|< \delta</math> 이면 <math>\lim_{t \rightarrow \infty} \\|x(t)-x_e\\| = 0</math> 인 <math>\delta > 0</math> 가 존재하면 '''점근적 안정'''이다. ▲# 위 시스템의 해당 평형점이 점근적으로 안정이고 <math>\\|x(0)-x_e\\| < \delta</math> 이면 <math>\\|x(t)-x_e\\| \leq \alpha\\|x(0)-x_e\\|e^{-\beta t}</math> 인 <math>\alpha, \beta, \delta >0</math> 가 <math>t \geq 0</math> 에 관하여 존재하면 '''지수적으로 안정''' 이다. ~~개념적으로 위 수식의 의미는 다음과 같다:~~ ▲# 어떤 평형점이 랴푸노프 안정이라면 해당 평형점에 "충분히 가까이" (<math>\delta</math> 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 "충분히 가까이" (<math>\epsilon</math> 이내의 거리에) 머문다. 중요한 것은, 모든 <math>\epsilon </math>에 대해 이 명제가 참이라는 것이다. ▲# 점근적 안정이라면, 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐 아니라 결국 해당 평형점으로 수렴한다. ~~# 지수적 안정이라면, 해가 수렴할 뿐 아니라, 실은 최소한 어떤 알려진 비율 보다 더 빨리 수렴한다.~~ ~~==랴푸노프 안정성 판단에 관한 정리==~~ ~~===안정성, 점근적 안정성에 관한 정리<ref name=khalil>~~ ▲Khalil, H. K., ''Nonlinear Systems'', 3rd ed., Prentice Hall, New Jersey, 2002, ISBN 0130673897.</ref>=== ▲주어진 시스템 <math>\dot{x} = f(x)</math>의 [[평형점]]이 <math>x_{e} = 0</math>이라 하자 (그렇지 않은 경우 <math>x-x_{e} = y</math>로 치환한다). 그리고 <math>\mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^{n}</math>을 <math>x=0</math>을 포함하는 [[정의역]]으로 두자. 다음과 같은 도함수가 연속인 함수 <math>V \colon \mathcal{D} \to \mathbb{R}</math>을 고려하자 ~~:<math>~~ ~~\begin{align}~~ ▲V(0) &= 0 \text{ and } V(x)>0,\, \forall x \in (\mathcal{D} - \{0\}),\\ ▲\dot{V}(x) &\le 0,\, \forall x \in \mathcal{D}. ~~\end{align}~~ ~~</math><br/>~~ ▲그러면 <math>x=0</math>은 안정하다. 만약 <math>\dot{V}(x) < 0,\; \forall x \in (\mathcal{D} - \{0\})</math>이라면 <math>x=0</math>은 점근적으로 안정하다. ▲==참고 문헌== ~~<references/>~~ [[분류:제어이론]]

랴푸노프 안정성: 두 판 사이의 차이