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랴푸노프 안정성: 두 판 사이의 차이

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* 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\|x(0)\|<\delta</math>이라면 <math>\sup_{t\ge0}\|x(t)\|<\epsilon</math>인 <math>\delta>0</math>가 존재한다면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''랴푸노프 안정'''하다고 한다.
* 만약 평형점 <math>x=0</math>이 랴푸노프 안정하고, 또한 <math>\|x(0)\|<\delta</math> 이면 <math>\lim_{t\to\infty} \|x(t)\| = 0</math> 인 <math>\delta > 0</math> 가 존재하면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''점근적으로 안정'''하다고 한다.
* 만약 평형점 <math>x=0</math>이 점근적으로 안정하고, <math>0<\|x(0)\| < \delta</math> 이면 <math>\sup_{t\ge0}\exp(\beta t)\|x(t)\|/\|x(0)\| \le\alpha</math>인 <math>\alpha, \beta, \delta>0</math>가 존재한다면, 평형점 <math>x=0</math>이 '''지수적으로 안정'''하다고 한다.
 
대략, 위 정의는 다음과 같이 생각할 수 있다.
* 랴푸노프 안정 평형점에서 "충분히 가까이" (<math>\delta</math> 이내의 거리에서) 시작된 해들은 영원히 평형점에 "충분히 가까이" (<math>\epsilon</math> 이내의 거리에) 머문다. 또한, 허용 오차 <math>\epsilon</math>을 임의로 줄일 수 있다.
* 점근적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 충분히 가까이 머물 뿐만 아니라, 결국충분한 시간이 지나면 해당 평형점으로 수렴한다.
* 지수적 안정 평형점에서 충분히 가까이 시작된 해는 수렴할충분한 뿐만시간이 아니라,지나면 적어도 어떤 알려진 비율을비율에 따라 지수함수적으로 해당 평형점으로 수렴한다.
 
== 랴푸노프 함수 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/랴푸노프_안정성"