통계역학: 두 판 사이의 차이

양자 통계역학에서는 고전적인 통계역학의 확률 분포인 [[볼츠만 분포]]에 양자역학적인 성질을 고려하여 확률 분포를 계산한다. 우선 [[페르미온]]과 [[보손]]이 보여주는 [[양자역학적 동일 입자]](identical particle)의 성질을 이해할 필요가 있다. 여러개의 동일 입자들가 있을 때 이를 나타내는 [[확률파동함수]]를 <math> \psi(x_1, x_2, ... x_n) </math> 이라고 할 때에 입자 1과 입자 2을 서로 맞바꾸어도 제3의 관찰자로서는 아무런 차이를 감지 할 수 없다. 즉 <math> \psi(x_1, x_2, ... x_n) = \psi(x_2, x_1, ... x_n) </math> 이라고 할 수 있다. 이제 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 [[고유값고윳값]] r을 생각해 볼 수 있는데, <math> \chi^2 </math>는 두 번 맞바꾼 것이기 때문에 단순한 [[항등원|항등]]연산자이다. 그러므로 <math> \chi^2 </math>의 고유값고윳값 <math> r^2 </math>는 1이 되고, <math>r</math>은 실수라 가정할 때에 당연히 +1 또는 -1이 될 것이다.

[[페르미온]]은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고유값고윳값 <math>r = -1</math>인 경우이다. 따라서 <math> \chi \psi(x_1, x_2, ... x_n)= - \psi(x_1, x_2, ... x_n) </math> 이고, 위에서 언급한대로 맞바꾸기를 한 이후의 확률파동함수는 그 이전과 비교해서 구분할 수 없다. 즉, <math> \psi(x_1, x_2, ... x_n)= - \psi(x_1, x_2, ... x_n)</math>이 된다. 따라서 앞의 식의 양변을 한쪽으로 옮기면 <math> \chi \psi(x_1, x_2, ... x_n)= 0</math>을 확인할 수 있다. 이는 한 개 보다 많은 복수의 페르미온이 동일한 상태에 존재 할 수 없음을 나타낸다. 그러므로 특정한 에너지 <math> \epsilon </math>를 갖는 페르미온에 대한 확률분포를 볼츠만 분포를 확장하여 계산하면 다음과 같다.

보손은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고유값고윳값 r이 +1인 경우이다.이깨 기본 양자역학적인 대칭의 필요에서 어떤 두 알갱이를 바꿀 때, 총 파동함수 <math> \psi</math>가 대칭적이다(즉 바뀌지 않은 채로 남아 있다.). 기호로<math>\psi(x_1, x_2, ... x_n)= \psi(x_1, x_2, ... x_n)</math> 이다. 두 알갱이를 서로 바꾼다고 하여 전체 기체의 새로운 상태가 되는 것은 아니다. 그러므로 기체의 구별되는 상태를 셀 때, 알갱이들이 정말로 구별할 수 없다고 생각해야 한다. 대칭에 필요한 알갤이들은 보즈-아인쉬타인 통계를 따른다고 하며 그들을 보손이라 부른다.

애니온은 '''맞바꾸는 교환 작용자''' <math> \chi </math>에 대한 고유값고윳값 r이 복소수로써 <math> r^2 = 1 </math>을 만족하는 경우이다.