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정부호 행렬: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[에르미트 행렬]]의 [[고유값고윳값]]은 항상 [[실수]]다. [[에르미트 행렬]] <math>M</math>은 그 [[고유값고윳값]]의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.
* 모든 고유값이고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x\ge0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''양의 준정부호행렬'''(陽-準定符號行列, {{llang|en|positive-semidefinite matrix}})이다.
** 모든 고유값이고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x > 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''양의 정부호행렬'''(陽-定符號行列, {{llang|en|positive-definite matrix}})이다.
* 모든 고유값이고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x\le0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''음의 준정부호행렬'''(陰-準定符號行列, {{llang|en|negative-semidefinite matrix}})이다.
** 모든 고유값이고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 <math>x</math>에 대해 <math>x^* M x < 0</math>인 경우) <math>M</math>은 '''음의 정부호 행렬'''(陰-定符號行列, {{llang|en|negative-definite matrix}})이다.
* 양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고유값을고윳값을 둘 다 가진 경우) <math>M</math>은 '''부정부호행렬'''(不定符號行列, {{llang|en|indefinite matrix}})이다.
 
실수체에서 정의하는 경우, [[에르미트 행렬]] 대신 [[대칭행렬]] <math>M</math>, [[켤레전치]] <math>x^*</math>대신 [[전치행렬|전치]] <math>x^T</math>를 사용한다.
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== 성질 ==
<math>n \times n</math> 복소수 양의 정부호행렬 <math>M</math>에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.
* [[고유값고윳값]]이 모두 양수이다.
* 임의의 두 벡터 <math>x, y</math>에 대해 <math><x, y> = x^* M y</math>로 [[내적공간|내적]]을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터공간 <math>\mathbb{C}^n</math>에서 정의할 수 있는 내적은 모두 양의 정부호행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
* <math>M</math>은 [[그람 행렬]]이다. 즉, 어떠한 [[선형 독립]]인 벡터 <math>x_1, \cdots, x_n</math>가 존재하여, <math>M_{ij} = x_i^*x_j</math>가 성립한다.
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/정부호_행렬"