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고윳값과 고유 벡터: 두 판 사이의 차이

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[[파일:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|270px|위 두 장의 그림은 원래 이미지가 옆으로 기울어진 모양으로 변하는 [[선형 변환]]을 보여주고 있다. 이 선형 변환에서 수평 축은 그대로 수평 축으로 남기 때문에 푸른색 화살표는 방향이 변하지 않지만 붉은색 화살표는 방향이 변하게 된다. 따라서 푸른색 화살표는 이 변환의 '''고유벡터'''가 되고 붉은색 화살표는 고유벡터가 아니다. 또한 푸른색 화살표의 크기가 변하지 않았으므로 이 벡터의 '''고윳값'''은 1이다.]]
 
[[선형대수학]]에서, '''고유벡터'''(固有vector, {{llang|en|eigenvector}}, {{llang|de|Eigenvektor아이건벡터}})는 어떤 [[선형 변환]]이 일어난 후에도 그 방향이 변하지 않는 [[영벡터]]가 아닌 [[벡터 (선형대수학)|벡터]]를 가리킨다. 또한 변환 후에 고유벡터의 크기가 변하는 비율을 그 벡터의 '''고윳값'''(固有값, {{langllang|en|eigenvalue}}, {{llang|de|Eigenwert아이건밸류}})이라고 한다. 또한 '''고유공간'''({{lang|en|eigenspace}}, {{llang|de|Eigenraum}})은 같은 고윳값을 갖는 고유벡터들의 [[집합]]이다. 선형 변환은선형변환은 대개 고유벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.
 
고유벡터와 고윳값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 [[선형대수학]], [[함수해석학]], 그리고 여러가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.
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만약 <math>V</math>가 일종의 함수공간인 경우, 고유벡터 대신 '''고유함수'''({{llang|en|eigenfunction}})라는 용어를 사용하기도 한다.
 
선형변환 <math>T</math>의 '''고유기저'''(固有基底, {{llang|en|eigenbasis}})는 <math>T</math>의 고유벡터들로 구성된 <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]]이다. 고유기저는 항상 존재하지 않지만, 예를 들어 <math>V</math>가 유한차원 복소벡터공간이고 <math>T</math>가 [[에르미트 연산자]]인 경우 존재한다.
 
선형대수 <math>T</math>의 '''주고윳값'''(主固有값, {{llang|en|principal eigenvalue}})은 최대의 고윳값이고, '''주고유벡터'''(主固有vector, {{llang|en|principal eigenvector}})는 주고윳값에 대응되는 고유벡터이다. <math>V</math>가 유한차원이 아니면 주고윳값이 존재하지 않을 수 있다.
 
=== 중복도 ===
고윳값 <math>\lambda</math>의 '''고유공간'''(固有空間, {{llang|en|eigenspace}}) <math>V_\lambda</math>은 이 고윳값을 가지는 고유벡터들과 0으로 구성되는 부분[[벡터공간]]이다.
:<math>V_\lambda=\{v\in\Lambda\colon Tv=\lambda v\}\subset V</math>
고윳값 <math>\lambda</math>의 '''기하기하적 중복도'''(幾何的重複度, {{llang|en|geometric multiplicity}})는 그 고유공간의 차원이다. 만약 <math>V</math>가 유한 차원 벡터공간일 경우, 고윳값 <math>\lambda</math>의 '''대수대수적 중복도'''(代數的重複度, {{llang|en|algebraic multiplicity}})는 [[고유다항식]] <math>\det(T-x)</math>의 근 <math>x=\lambda</math>의 중복도이다.
 
== 예 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/고윳값과_고유_벡터"