대칭군 (군론): 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
2번째 줄:
== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''대칭군'''은 <math>X</math>에서 <math>X</math>로 가는 모든 [[전단사함수]](일대일 대응함수)의 집합에 [[군 (수학)|군]] 구조를 준 것으로, 기호로는 <math>S_X</math> 또는 <math>\operatorname{Sym}(X)</math>로 표기한다. 이 때, 군 연산은 [[함수 (수학)|함수]]들의 [[합성 (수학)|합성]]이다. 즉, 두 함수 <math>f</math>와 <math>g</math>를 합성하여 새로운 전단사함수 <math>f \circ g</math>를 얻을 수 있다. 이 때, <math>f \circ g</math>는 <math>X</math>의 모든 원소 x에 대해 <math>(f \circ g)(x) = f(g(x))</math>로 정의한다. 이 연산과 함께 <math>S_X</math>는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 <math>fg</math>로 쓸 수도 있다.
특별히 중요하게 다루어지는 것은 [[유한 집합]] <math>X = \{1, \cdots, n\}</math>의 경우이다. 이 집합의 대칭군 <math>S_X = S_{\{1, \cdots, n\}}</math>를 간단히 <math>S_n</math>으로 표기한다. <math>S_n</math>의 원소들을 <math>X</math>의 '''[[
== 성질 ==
''n''개 원소에 대한 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 크기가 <math>n!</math>인 [[유한군]]이다. 오직 <math>n\le2</math>인 경우에만 [[아벨 군]]이며, 오직 <math>n\le 4</math>일 경우에만 [[가해군]]이다. 이것이 [[아벨-루피니 정리]](5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.
''n''개 원소에 대한 대칭군의 [[군의 표시|표시]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sym}(n)\cong\langle\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,\;\sigma_i\sigma_j\sigma_i\sigma_j\;(j\ne i\pm1),\;\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i=\sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\rangle</math>
여기서 <math>\sigma_i</math>는 [[순열]] <math>(i,i+1)</math>에 대응한다.
== 응용 ==
대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. [[갈루아 이론]]에서, ''n''차 대칭군은 일반적 ''n''차 다항식의 [[갈루아 군]]이다. [[리 군]]의 이론에서, ''n''차 대칭군은 [[[일반선형군]] <math>\operatorame{GL}(n,\mathbb C)</math> 및 [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n+1,\mathbb C)=A_n</math>의 [[바일 군]]이며, [[슈어 함자]]({{llang|en|Schur functor}})에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 [[콕서터 군]] <math>A_n</math>과 같다.
== 낮은 차수의 대칭군 ==
| |||