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쉴로브 정리: 두 판 사이의 차이

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실로우의 정리는 이전까지 관련 주제의 선구적인 연구 성과였던 [[코시의 정리 (군론)|코시의 정리]]를 폭넓게 일반화한 것이면서, 또한 [[라그랑주 정리 (군론)|라그랑주 정리]]의 부분적 역을 제공하고 있다는 점에서 추상대수학의 발전사에서 결정적인 위치를 점하고 있다. 또 이 정리를 이용하면, 유한 [[단순군]]의 성질에 관한 몇 가지 중요한 결과를 유도할 수 있다.
 
==예비 개념들정의 ==
*어떤 [[유한군]] <math>G</math>의 임의의 원소의 위수가 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>p^n</math> 꼴일, 때 이 군 <math>G</math>를 '''p-군'''(p-group)이라고 부른다.▼
실로우의 정리를 이해하기 위해서는 몇 가지 예비 개념들이 필요하다.
▲*어떤 유한군 <math>G</math>의 임의의 원소의 위수가 소수 <math>p</math>에 대하여 <math>p^n</math> 꼴일 때 이 군 <math>G</math>를 '''p-군'''(p-group)이라고 부른다.
*어떤 유한군 <math>G</math>가 p-군이면서 어떤 군 <math>H</math>의 부분군일 때, <math>G</math>를 '''<math>H</math>의 p-부분군'''(p-subgroup)이라고 부른다.
*군 <math>H</math>의 p-부분군 <math>G</math>가 자신을 포함하는 <math>H</math>의 p-부분군은 자신밖에 없을 때, <math>G</math>를 '''극대 p-부분군'''(maximal p-subgroup) 혹은 '''실로우 p-부분군'''(Sylow p-subgroup)이라 부른다.
 
유한군 <math>G</math>의 '''실로우 ''p''-부분군'''({{llang|en|Sylow ''p''-subgroup}})은 극대 ''p''-부분군이다. 즉, 만약 <math>H\le G</math>가 다음 두 조건을 만족시킬 때, <math>H</math>를 <math>G</math>의 실로우 ''p''-부분군이라고 한다.
==공식화==
* <math>H</math>는 ''p''-군이다.
실로우의 정리는 3개로 구성된다. 각각 '''제1 실로우 정리''', '''제2 실로우 정리''', '''제3 실로우 정리'''로 이루어지는데, 이들은 각각 어떤 유한군에 대하여 그 유한군의 위수를 이용하여 실로우 p-부분군의 존재성, 실로우 p-부분군들 사이의 관계, 실로우 p-부분군들의 개수에 관한 사실을 제시해 준다.
* <math>H\le H'\le G</math>인 ''p''-부분군 <math>H'</math>는 <math>H</math> 뿐이다.
 
그렇다면 다음 세 개의 정리가 성립한다. <math>G</math>가 [[유한군]]이며, <math>p</math>가 [[소수 (수론)|소수]]라고 하자.
===제1 실로우 정리===
*정리 :'''제1 어떤실로우 유한군정리''': <math>|G|</math>의 위수가 소수가 <math>p^n</math>와의 이와 서로소인 자연수배수이며, <math>mn</math>에이 대하여이러한 적당한최대의 자연수정수인 경우, 크기가 <math>p^n</math>이인 존재하여실로우 <math>mp^np</math>-부분군이 꼴일 경우, 다음 두 명제가 성립한다존재한다.
*'''제2 실로우 정리 ''': 어떤 유한군 <math>G</math>에 대하여, <math>G</math>의 모든 실로우 p-부분군들은 서로 [[켤레류|켤레]]이다.▼
*i) 임의의 <math>n</math>보다 같거나 작은 자연수 <math>i</math> 에 대하여, <math>p^i</math> 위수를 갖는 <math>G</math>의 p-부분군이 존재한다.
*ii) '''제3 실로우 정리''': <math>iG</math>의 가실로우 p-부분군의 총 수가 <math>nn_p</math>이 아니면이며, 위수가<math>H</math>가 <math>p^iG</math>인 G의의 임의의 p-부분군을 [[정규부분군]]으로 하는실로우 <math>p^{i+1}</math>-부분군이라고 위수의하자. p-부분군이그렇다면 다음이 존재한다성립한다.
::<math>n_p\cong 1\pmod p</math>
::<math>n_p=|G:N_G(H)|</math>
:여기서 <math>N_G(H)</math>는 <math>H</math>의 [[정규화 부분군]]이다.
 
[[코시의 정리 (군론)|코시의 정리]]는 제1 실로우 정리의 특수한 경우이다.
===제2 실로우 정리===
▲*정리 : 어떤 유한군 <math>G</math>에 대하여, <math>G</math>의 모든 실로우 p-부분군들은 서로 [[켤레류|켤레]]이다.
 
===제3 실로우 정리===
*정리 : 어떤 유한군 <math>G</math>에 대하여 실로우 p-부분군의 총 수는 <math>G</math>의 위수의 약수이며, 자연수 <math>n</math>에 대하여 항상 <math>np+1</math> 꼴이 된다.
 
==응용 사례들==
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== 역사 ==
[[노르웨이]]의 수학자 [[페테르 루드비 메이델 쉴로브]]가 증명하여증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.
 
==같이 보기==
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* {{책 인용|저자=김주필|제목=알기 쉬운 대수학|출판사=대선|언어고리=ko|날짜=2009}}
 
== 바깥 고리 ==
[[분류:대수학]]
* {{eom|title=Sylow theorems}}
* {{매스월드|id=SylowTheorems|title=Sylow theorems}}
 
[[분류:대수학 정리]]
[[분류:군론]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/쉴로브_정리"