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아이디얼: 두 판 사이의 차이

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[[환론]]에서, '''아이디얼'''({{llang|en|ideal}})은 특정한 조건을 만족시키는 [[환 (수학)|환]]의 [[부분집합]]이다. 이에 대하여 [[몫환]]을 취할 수 있으며, [[군론]]에서 [[정규부분군]]에 대하여 [[몫군]]을 취하는 것과 유사한 개념이다.
'''아이디얼'''(ideal)은 [[환 (수학)|환]]의 특정한 조건(아래 [[#정의|정의]] 참고)을 만족하는 [[부분집합]]을 의미하며, 예를 들면 [[정수]] 집합으로 된 환의 경우, [[짝수]]의 집합이나 3의 [[배수]]의 집합 등이 아이디얼이 된다. 환의 아이디얼 집합들은 [[정수환]]에서 등장하는 특정 성질들을 비슷하게 적용할 수 있고, 따라서 아이디얼의 개념은 [[정수론]]을 보다 일반적인 환에 대해 확장하기 위한 것으로 볼 수 있다.
 
환론에서는아이디얼을 사용하여 [[수론]]적 개념을 보다 일반적인 [[환 (수학)|환]]들에 대하여 확장시킬 수 있다. 예를 들어, [[소수 (수론)|소수]]의 개념을 확장한 [[소 아이디얼]]을 다루며,및 [[서로소 (수론)|서로소]]인 수의 개념을 확장해확장한 서로소인서로소 아이디얼을 정의하고정의하면, 이렇게 확장된 의미에서일반화된 [[중국인의 나머지 정리]]를 증명할 수 있다. [[수론]]에서 중요한 개념인 [[데데킨트 정역]]의 경우, 아이디얼에 대해 [[산술의 기본정리]]까지도 성립함을 보일 수 있다. (즉, 임의의 0이 아닌 아이디얼은 소 아이디얼들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있다.)
 
[[군론]]에서 [[군 (수학)|군]]을 [[정규부분군]]으로 나눠 [[몫군]]을 만드는 것과 마찬가지로, 환론에서는 환을 아이디얼로 나눠 [[몫환]]을 만들 수 있다.
 
== 정의 ==
R이<math>(R,+,\cdot)</math>가 [[환 (수학)|환]]이고, (<math>I\subset R, +)</math>가 그<math>R</math>의 환이 가진(덧셈 [[덧셈군아벨 군]] 구조이며, I가 R의 부분집합으로서 (I, +으로서의)가 (R, +)의 [[부분군]]이라이라고 하자. 이때
* I가 R의 '''우아이디얼'''(右ideal, {{llang|en|right ideal}})이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 xr이 I의 원소인 경우를 말한다.
* I가 R의 '''좌아이디얼'''(左ideal, {{llang|en|left ideal}})이라 함은 I의 임의의 원소 x와 R의 임의의 원소 r에 대해 rx가 I의 원소인 경우를 말한다.
* I가 R의 '''양쪽 아이디얼'''(兩쪽ideal, {{llang|en|two-sided ideal}}) 또는 단순히 '''아이디얼'''이라 함은 <math>I</math>가 좌아이디얼 및 우아이디얼을 이룸을 말한다.
R의 좌아이디얼은 [[반환 (환론)|반환]](opposite ring) <math>R^{\text{op}}</math>의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다.
 
즉, 좌·우·양쪽 아이디얼의 원소는 각각 좌측·우측·양쪽에 곱셈을 해도 여전히 그 좌·우·양쪽 아이디얼을 벗어나지 않는다.
즉, 우아이디얼의 원소는 우측에 곱셈을 해도 여전히 그 우아이디얼을 벗어나지 않으며, 좌아이디얼의 원소는 좌측에 곱셈을 해도 그 좌아이디얼을 벗어나지 않는다. 예를 들어, 임의의 R의 원소 p에 대해 pR은 우아이디얼이고 Rp는 좌아이디얼이다. 이들은 각각 p에 의해 생성되는 [[주 아이디얼|주 우아이디얼]](principal right ideal) 및 주 좌아이디얼이라고 불린다.
 
R의 좌아이디얼은 [[반환 (환론)|반환]](opposite ring) R<sup>o</sup>의 우아이디얼과 일치하며, 이는 반대로도 성립한다. '''양측 아이디얼'''(two-sided ideal)은 좌아이디얼인 동시에 우아이디얼인 부분집합을 말하며, 많은 경우 수식어가 없이 그냥 '''아이디얼'''이라고 하면 양측 아이디얼을 말한다. R이 [[가환환]]일 때는 좌아이디얼과 우아이디얼 및 양측 아이디얼은 전부 같은 개념이 되며, 따라서 수식어 없이 '아이디얼'이라는 표현만을 사용한다.
 
R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 '''진 아이디얼'''(proper ideal)이라고 한다.▼
 
== 아이디얼의 종류 ==
특정한 성질을 가진 아이디얼의 종류로는 다음을 들 수 있다. (주의: 여기에서 모든 환은 가환인 것으로 한다. 비가환인 경우는 해당 문서에서 자세히 다룬다.)
 
* '''진 아이디얼'''(眞ideal, {{llang|en|proper ideal}})
▲**R의 아이디얼 I가 R 전체가 아닐 경우, 이를 '''진 아이디얼'''(proper ideal)이라고 한다.
* '''영 아이디얼'''(零ideal, {{llang|en|zero ideal}})
** 덧셈 항등원만을 포함하는 부분집합 <math>\{0\}</math>은 아이디얼을 이루며, 이를 '''영 아이디얼'''이라고 한다.
* [[극대 아이디얼]]
** I가 진 아이디얼일 때, I보다 큰 (즉, I를 포함하면서 I와 같지 않은) 진 아이디얼이 존재하지 않을 경우 이를 극대 아이디얼이라 한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 [[체 (수학)|체]]가 된다.
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** I가 진 아이디얼일 때, R의 임의의 원소 a와 b에 대해 ab가 I의 원소라면 언제나 a와 b 중 적어도 하나는 I의 원소일 경우, 이를 소 아이디얼이라 한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 [[정역]]이 된다.
* [[주 아이디얼]]
** 주 아이디얼은 하나의 원소에 의해 생성되는 아이디얼이다. 즉, <math>r\in R</math>에 대하여, <math>rR</math>는 주 우아이디얼이며, <math>Rr</math>는 주 좌아이디얼이다.
* [[으뜸 아이디얼]]
* [[아이디얼의 근기]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/아이디얼"