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'''허수'''(虛數, imaginary number)는 실수가 아닌 복소수를 뜻한다.
 
실수의 특성상, 제곱하면 무조건 0또는 양수가 되기때문에 이차방정식 <math>x^2=-1</math>을 실수의 범위에서 해를 전혀 구할 수가 없다. 그러나 수직선에 모든실수를모든 실수를 하나하나 대응시키면, 수직선은 빈틈없이 채워지는것으로 볼때, 우리가 존재한다고 느낄 수 있는 수는 실수밖에없다는것은실수밖에 없다는것은 필연코 부정할 수 없는 사실이다.
 
여기서 <math>x^2=-1</math> 꼴과같이 실수 범위에서 전혀 구할 수 없는 해를 구하기위해 무엇인가를 만들어야할 필요성을 느낀다. 실수의 성질로써는 절대불가능한 '''제곱해서 음수가 되는수되는 수'''를 만들어내기위해 제곱하여 -1이 되는 수 <math>\sqrt -1</math>를 만들어내면, 위의 이차방정식의 해는 <math>+\sqrt -1</math>또는<math>-\sqrt -1</math>이 되므로 이 수는 우리가 존재한다는것을 느끼는 수가 아님에도불구하고, 이차방정식의 해가 되기때문에,수학자들은 이 수가 수학적가치가 있음을 인정하고 '''허수'''로 정의했고, <math>\sqrt -1</math>만 있으면 모든 허수들을 나타낼 수 있으므로 이 수를 imaginary number의 앞글자를 따서 [[허수단위]] i라고 정의했다.
 
복소수는 실수와 허수를 포괄하는 수이며, <math>a+bi</math>로 나타낼 수 있고, 이때 a를 실수부, b를 허수부라 한다.
b가 0일 경우 위의 수는 [[실수]]가 되고 0이 아닐때에는 허수가 되는것으로 볼때, 양수는 음수, 유리수는 무리수로 대응되는것처럼 실수는 허수와 대응되는 관계가 있다. 허수는 단순히 억지로 만들어진 수가 아닌, 어떤 한 성질이 있는 수가 있으면 필연적으로 그와 반대되는 수는 반드시 존재한다는것을 알려주는 수이다.
 
또한, 허수는 기존에 있었던 실수축수직선, 실수죽(가로)에 허수축(세로)를 덧붙여 복소수평면을 만든 결정적인 계기가 되었다.
 
허수가 정의되기 전까지만 해도, 수의 개념은 1차원적이었다. 즉, 수의 개념은 오직 수'''직선'''으로만 표현되었다. 그러나 허수가 정의된 후, 수의 개념은 2차원으로 확장되었다. 즉, 수의 개념은 복소'''평면'''으로 표현된 것이다. 수의 틀을 직선에서 평면으로 확장시킨 것은 모두 '''허수'''의 덕택임을 알 수 있는 것이다.
허수계념을 만들음으로서 다른 계념을 만들 필요가 없어졌다.
 
또한, 허수로 인해 수의 틀이 확장되었다는 것은, 언젠가는 어떤 수가 발견되어 수의 틀이 '''입체'''로 확장될 수 있음을 시사한다.
허수의 발견은 복소수와 대응되는 수가 언젠가 누군가의 필요로인해 만들어진다는것을 알려주는 위대한발견이다.
 
이렇게 허수의 발견은 복소수와 대응되는 수가 언젠가 누군가의 필요로인해 만들어진다는것을 알려주는 위대한발견이다.
 
== 역사 ==

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