르베그 측도: 두 판 사이의 차이
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[[측도론]]에서, '''르베그 측도'''({{llang|en|Lebesgue measure}})는 [[유클리드 공간]]의 부분 집합에 [[길이]], [[넓이]] 또는 [[부피]]를 할당하는 방법이다.
선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 <math>(0, 1)</math>의 측도는 길이와 같은 1이다. 한편, [[칸토르 집합]]의 측도는 0이다.▼
== 정의 ==
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* 르베그 측도는 이동불변성을 갖는다. 즉, 임의의 집합 <math>E</math>와 벡터 <math>a \in \mathbb{R}^k</math>에 대해, <math>E + a := \{x+a: x \in E\}</math>는 측정 가능하며 <math>E</math>와 같은 측도를 갖는다.
=== 르베그 가측 집합 ===
[[비탈리 집합|비탈리 정리]]에 따르면 [[선택공리]]를 가정할 경우 모든 집합의 르베그 측도를 할당하는 것은 불가능하다
선택공리를 가정하자. 유클리드 공간의 르베그 가측 집합의 수는 <math>\beth_2=2^{2^{\aleph_0}}</math>이지만, [[보렐 집합]]의 수는 <math>\beth_1=2^{\aleph_0}</math>이다. 즉, 거의 모든 르베그 가측 집합은 보렐 집합이 아니다.
모든 르베그 가측 집합 <math>L</math>은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>L=G\setminus N=F\cup N'</math>
여기서
* <math>N</math> 및 <math>N'</math>은 르베그 [[영집합]]이다.
* <math>G</math>는 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다 (따라서 [[보렐 집합]]이다).
* <math>F</math>는 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]이다 (따라서 [[보렐 집합]]이다).
== 예 ==
▲선분, 사각형 등의 도형에 대한 르베그 측도는 길이나 넓이 등의 개념과 일치한다. 예를 들어, 구간 <math>(0, 1)</math>의 측도는 길이와 같은 1이다
[[칸토어 집합]]은 크기가 <math>2^{\aleph_0}</math>이지만 르베그 측도가 0이다.
== 바깥 고리 ==
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