힐베르트 공간: 두 판 사이의 차이
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일반적으로, 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 [[벡터 공간]]의 기저를 이루지 않으며, 힐베르트 공간의 차원은 벡터 공간으로서의 차원보다 작거나 같다. 이는 벡터 공간의 경우 <math>\operatorname{Span}B=\mathcal H</math>를 필요로 하지만, 힐베르트 공간의 경우 <math>\operatorname{Span}B</math>가 오직 [[조밀집합]]임이 족하기 때문이다.
두 <math>K</math>-힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>, <math>\mathcal H'</math> 사이에 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|
* <math>\dim\mathcal H=\dim\mathcal H'</math>
* <math>\mathcal H</math>와 <math>\mathcal H'</math> 사이에 [[유니터리 변환]] <math>U\colon\mathcal H\to\mathcal H'</math>이 존재한다. 즉, 두 힐베르트 공간은 서로 [[동형]]이다.
따라서, 힐베르트 공간들은 차원에 따라 완전히 분류된다. 또한, <math>K</math>-힐베르트 공간 <math>\mathcal H</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|
* <math>\mathcal H</math>는 [[분해가능 공간]]이다.
* <math>\dim\mathcal H\le\aleph_0</math>이다.
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== 예 ==
<math>K</math>가 <math>\mathbb R</math> 또는 <math>\mathbb C</math>라고 하고, <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>가 [[측도공간]]이라고 하자. 그렇다면 그렇다면 [[Lp 공간|L<sup>2</sup> 공간]] <math>L^2(X,K)</math>는 <math>K</math>-힐베르트 공간을 이룬다.<ref name="Tao"
>{{책 인용|제목=Epsilon of Room, I: Real Analysis: pages from year three of a mathematical blog|url=https://terrytao.files.wordpress.com/2010/02/epsilon.pdf|이름=Terrence|성=Tao|저자고리=테렌스 타오|출판사=American Mathematical Society|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=117|isbn=978-0-8218-5278-1|언어고리=en}}</ref>{{rp|
만약 <math>X</math>가 셈측도가 부여된 집합이라면
45번째 줄:
는 <math>L^2(X,K)</math>의 정규 직교 기저를 이룬다.
만약 <math>\mathcal F</math>가 [[분해가능 시그마 대수]](<math>d(A,B)=\mu(A\setminus B\cup B\setminus A)</math>로 정의한 [[거리 공간]]이 [[분해가능 공간]]인 경우)이며, 또한 <math>X</math>가 시그마 유한 공간(가산개의 유한 측도 부분집합들의 합집합)이라면, <math>L^2(X,K)</math>는 [[분해가능 공간]]이다.<ref name="Tao"/>{{rp|
== 응용 ==
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