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5번째 줄: 알레프 수는 흔히 무한을 나타내는 기호인 ∞와는 다르다. 알레프는 집합의 크기를 나타내는 기호이고, ∞는 [[실수]] 직선의 극한이나 [[확장된 실수]]의 극점 등을 의미하며, [[기수 (수학)\|기수]]와는 관계가 없다. == ~~알레프-0~~정의 == 편의상, [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[선택 공리]]를 가정하고, [[존 폰 노이만]]의 순서수의 정의(순서수는 그보다 작은 모든 순서수의 집합)를 사용하자. 기수 <math>\kappa</math>의 '''바로 다음 기수'''({{llang\|en\|successor cardinal}})는 다음과 같다. ~~알레프-0(<math>\aleph_0</math>)은 전체 [[자연수]] 집합의 크기(농도)로, 모든 [[무한집합\|무한]] [[가산집합]]의 크기는 알레프-0이다.~~ :<math>\kappa^+=\left\|\operatorname{inf}\{\alpha\in\operatorname{Ord}\colon\kappa<\|\alpha\|\}\right\|</math> [[하르톡스의 정리]]에 따라 이 [[하한]]은 항상 존재한다. 여기서 부등식은 기수의 부등식이다. [[순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여, '''알레프 수''' <math>\aleph_\alpha</math>는 다음과 같이 [[초한귀납법]]으로 정의된다. ~~== 알레프-1 ==~~ * <math>\aleph_0=\|\mathbb N\|</math> ([[자연수]]의 [[집합의 크기]]) * <math>\aleph_{\alpha+1}=\aleph_\alpha^+</math> * <math>\aleph_\lambda=\bigsqcup_{\alpha<\lambda}\aleph_\alpha</math> (<math>\lambda</math>는 [[극한순서수]], 기수 <math>\kappa</math>를 크기가 <math>\kappa</math>인 집합으로 간주) == 성질 == 알레프-1(<math>\aleph_1</math>)은 모든 [[가산 집합\|가산]] [[순서수]]들의 집합의 크기로 정의된다. 정의에 따라 알레프-0과 알레프-1 사이에는 다른 기수가 존재하지 않으며, 따라서 알레프-1은 알레프-0 다음으로 큰 [[순서수]]가 된다. '''알레프 수'''는 [[순서수]]의 [[고유모임]] <math>\operatorname{Ord}</math>에서 [[기수 (수학)\|기수]]의 [[고유모임]] <math>\operatorname{Card}</math>으로 가는 "함수"이다. (물론, [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[정의역]]과 [[공역]]이 집합이 아니므로 이는 엄밀히 말해 함수가 될 수 없다.) 이는 "[[단사함수]]"이며, 그 "[[상 (수학)\|상]]"은 무한 기수이다. 따라서, 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여, :<math>\aleph_\alpha<\kappa<\aleph_{\alpha+1}</math> 인 기수 <math>\kappa</math>는 존재하지 않는다. === 연속체 가설 === {{참고본문\|연속체 가설}} '''일반화 연속체 가설'''에 따르면, [[실수]] 집합의 크기, 즉 <math>2^{\aleph_0}</math>는 알레프-0보다는 큰 기수로, 알레프-1과 같거나 크다. 이때 실수 집합의 크기와 알레프-1이 같은지를 묻는 것이 [[연속체 가설]]이다, 이것은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 내에서 무모순이고 다른 공리와 독립이라는 것이 증명되었다. 즉, 두 기수가 같다는 공리를 새로 도입하거나 혹은 두 기수가 다르다는 공리를 모순 없이 도입할 수가 있다. :<math>\aleph_\alpha=\beth_\alpha</math> 가 성립한다. 여기서 <math>\beth_\alpha</math>는 [[베트 수]]이다. 이 명제는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 독립적이다 (즉, 증명하거나 반증할 수 없다). 또한, 대부분의 [[큰 기수]] 공리들을 추가해도 이는 변함이 없다. 위 가설에서 <math>\alpha=1</math>인 특수한 경우 :<math>\aleph_1=2^{\aleph_0}</math> 는 '''[[연속체 가설]]'''이라고 불리며, 역시 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]] 및 [[큰 기수]] 공리들에 대하여 독립적이다. == 예 == === ℵ<sub>0</sub> === <math>\aleph_0</math>은 [[가산 집합\|가산]] [[무한 집합]]의 [[집합의 크기\|크기]]이다. 예를 들어, [[자연수]]의 집합 <math>\mathbb N</math>, [[정수]]의 집합 <math>\mathbb Z</math>, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math> 등이 이 크기이다. :<math>\aleph_0=\|\mathbb N\|=\|\mathbb Z\|=\|\mathbb Q\|</math> == ℵ<sub>1</sub> == <math>\aleph_1</math>은 가장 작은 비가산 기수이다. 이는 모든 가산 [[순서수]]들의 [[집합의 크기]]이다. [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 [[연속체 가설]]이 독립적이므로, 실제로 크기가 <math>\aleph_1</math>이라고 증명할 수 있는 집합들은 그리 많지 않다. == ℵ<sub>ω</sub> == <math>\omega</math>가 가장 작은 무한 [[순서수]]라고 하자. <math>\aleph_\omega</math>는 <math>\{\aleph_n\colon n\in\mathbb N\}</math>의 [[상한]]이다. 또한, 이는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 :<math>2^{\aleph_0}<\kappa</math> 임을 증명할 수 있는 가장 작은 기수 <math>\kappa</math>이다. == 참고 문헌 == 줄 25 ⟶ 50: \| publisher = Virginia Commonwealth University \| isbn = 978-0-9824062-4-3 \| 언어고리=en }} == 바깥 고리 == * {{eom\|title=Aleph}} * {{eom\|title=Aleph-zero}} * {{매스월드\|id=Aleph\|title=Aleph}} * {{매스월드\|id=Aleph-0\|title=Aleph-0}} * {{매스월드\|id=Aleph-1\|title=Aleph-1}} == 같이 보기 ==

알레프 수: 두 판 사이의 차이