맥스웰-볼츠만 분포: 두 판 사이의 차이
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== 특성 ==
맥스웰-볼츠만 분포 곡선은 입자들의 평균 표본에서 어떻게 입자 속도가 분포되는지 보여준다. 어떤 주어진 온도에서 매우 적은 입자들만이 매우 낮거나 높은 에너지를 갖는다.(대부분은 두 상태 내부 어딘가에 에너지 준위를 가질 것이다.) 이것은 평균 에너지라고 불린다. 반응이 일어나려면 활성 에너지 장벽을 넘어야 한다. 만약 입자의 수를 늘리면, 반응 물질의 농도가 증가하고 보다 높은 활성화 에너지를 만들 수 있다.
<math>a = 1</math>에서 맥스웰-볼츠만 분포는 Chi-분포와 동일하다. 추가로, 만약 <math>Z</math>가 파라메터 <math>a</math>로 맥스웰-볼츠만 분포처럼 분포된다면 밑의 식이 Chi-분포처럼 분포될 것이다.
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== 맥스웰-볼츠만 분포의 물리적 응용 ==
맥스웰-볼츠만 분포는 기체의 압력, 확산 과 같은 기본적인 그 성질을 설명하는 기체 운동 이론의 기본을 형성한다. 이 분포는 기체에서 분자 속도의 분포를 고려할 수 있을 뿐만 아니라 [[속도]], [[운동량]], 분자 운동량의 크기 등 서로 다른 확률 분포 함수를 가지지만 모두 연관되어 있는 물리량을 광범위하게 나타낸다.
맥스웰-볼츠만 분포는 [[통계 역학]]을 사용함으로써 유도할 수 있다. 이 분포는 많은 수의 상호 작용이 없는 입자들로 구성된 양자 효과가 무시되는 계에서 모든 속도 분포 가능성에 대응한다. 기체 상태에서 분자 간의 내부 반응은 일반적으로 매우 작고 이에 따라 맥스웰-볼츠만 분포는 기체 상태의 조건에서 매우 좋은 접근을 제시한다.
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그러나 재조합 및 여기가 중요한 이온층과 공간 플라즈마의 물리학과 같이 탄성 충돌 조건 등이 적용되지 않는 경우들도 있다. 만약 맥스웰 분포와 그와 관련된 가정을 여기에 적용했다면 그것은 잘못된 것이며 물리적 의미를 파악하지 못한 것이다. 맥스웰-볼츠만 분포의 잘못된 결과를 가져다 주는 또다른 예는 바로 기체의 양자적 열 파장이 입자들 간의 거리에 비교하여 충분히 작지 않을 때의 경우이다. 따라서 이 이론은 중요한 양자 효과를 설명하는 데 실패한다. 또한 이것이 비상대론적 가정에 기초하고 있기에 맥스웰-볼츠만 분포는 광속을 넘어서는 분자 속도들이 존재하지 않음을 보여주지 못한다.
맥스웰에 의한 최초 계산은 3가지 방향이 같은 방식으로 행동할 것이라고 가정했다. 그러나 이후에, 볼츠만에 의한 계산은 운동 이론을 사용하는 가정으로 낮췄다.맥스웰-볼츠만 분포는 에너지에 대한 볼츠만 분포로부터 대부분 유도될 수 있다.
:<math>
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=== 운동량 벡터의 분포 ===
지금까지 맥스웰에 의해 다양하고 광범위하게 유도된 계산들이 후에 1877년 볼츠만이 적은 가정으로 설명되고 이 가정이 더 설득력을 얻었다.
바닥 상태에서 상호 작용이 없는 원자들로만 구성된 "[[이상 기체]]"의 경우, 모든 에너지는 운동 에너지의 형태로 되어 있고 일반적인 입자들에 대하여 운동 에너지와 운동량은 아래와 같은 관계를 가진다.
:<math>
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\qquad\qquad (8)</math>
이것이 바로 맥스웰-볼츠만의 속도 분포이다. 무한소[''dv''<sub>''x''</sub>, ''dv''<sub>''y''</sub>, ''dv''<sub>''z''</sub>]에서 '''v''' = [''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>]에 대한 어떤 속력을 가진 입자를 찾을 확률은 밑의 식이 된다.
:<math>
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\frac{-mv^2}{2kT}
\right]
\qquad (10) </math>
여기서 속도 ''v''는 아래와 같이 정의된다.
:<math>v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math>
식 10에 있는 f(v)의 단위는 단위 속도당 확률이거나, 그래프의 오른쪽에서 단지 속도의 반비례가 된다. 그리고 속도가 정규화 분포된 세 속도 성분들의 제곱의 합의 제곱근이 되면, 이 분포는 <math>a=\sqrt{kT/m}</math>만큼의 맥스웰-볼츠만 분포가 된다. 또한 우리는 실제 분포보다 입자들의 평균속력과 같은 물리량을 필요로 한다. 평균 속도, 예상 속도와 제곱 평균은 맥스웰-볼츠만 분포의 특성으로부터 나타내질 수 있다.
=== 전체 속도 ===
위의 식들이 속도 분포를 알 수 있게 해 주지만 일반적으로 실제 분포보다 입자들의 평균 속도와 같이 그 실제적인 양을 필요로 한다. ''v''<sub>''p''</sub>는 어떤 계에서 어느 분자에 의해 같아진 속도이고
:<math>\frac{df(v)}{dv} = 0</math>
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평균 속도는 속도 분포의 수학적 평균이므로 다음과 같이 된다.
:<math> \langle v \rangle = \int_0^{\infin} v \, f(v) \, dv= \sqrt { \frac{8kT}{\pi m}}= \sqrt { \frac{8RT}{\pi M}}</math>
또한 제곱 평균 속도, ''v''<sub>rms</sub>는 속도에 제곱하여 평균한 값에 제곱근을 취한 것이기 때문에 밑의 식으로 나타낼 수 있다.
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