"초한귀납법"의 두 판 사이의 차이

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[[집합론]]에서, '''초한귀납법초한 귀납법'''(超限歸納法, {{llang|en|transfinite induction}})은 [[수학적 귀납법]]을 [[자연수]]뿐만이 아니라 일반적인 [[정렬집합정렬 집합]]에 적용할 수 있도록 확장한 것이다. 모든 [[순서수]]나 [[기수 (수학)|기수]]에 대한 명제를 증명할 때 사용된다.
 
== 정의 ==
'''초한귀납법초한 귀납법'''은 특정한 성질 P(α)가 모든 [[순서수]] α에 대해 성립함을 증명하기 위한 방법이다. 초한귀납법은 다음을 증명한다.
 
* 임의의 [[순서수]] α에 대해, α보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다면 P(α)라는 것을 증명한다.
* 임의의 [[극한순서수]] λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)를 가정하고 P(λ)를 증명한다.
 
즉, 위의 세 가지 성질이 성립할 경우 P(α)는 모든 순서수 α에 대해 참이다. 이 과정에서 [[수학적 귀납법과귀납법]]과 차이가 되는 부분은 극한순서수인데, 따름순서수는 P(β)를 가정하고 P(β+1)을 증명하여도 되지만 극한순서수는 계속 1을 더해가는 방법으로는 전부 만들어낼 수 없기에 극한순서수의 경우를 따로 고려해준다는 것뿐이다.
만약 따름순서수의 경우에도 β보다 작은 모든 γ에 대해 P(γ)가 성립한다는 것을 가정하는 경우, 따름순서수와 극한순서수의 조건은 동일하다. 다만 일반적으로 두 경우 증명 방법이 크게 달라지기 때문에 이를 구분하는 것이 편리한 것 뿐이다.
 
== 초한반복초한 반복 ==
'''초한반복초한 반복'''(超限反復, {{llang|en|transfinite recursion}})은 집합들의 열 A<sub>α</sub>를 모든 순서수 α에 대해 정의하기 위해 초한귀납법과 유사한 과정을 사용한다. 구체적으로는 다음의 세 단계가 필요하다.
*A<sub>0</sub>을 정의한다.
*임의의 따름순서수 β+1에 대해, A<sub>β</sub>가 주어져 있을 때 A<sub>β+1</sub>를 정의하는 방법을 규정한다. (필요할 경우 β보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>에도 의존하도록 정의해도 된다.)
*임의의 극한순서수 λ에 대해, λ보다 작은 모든 γ에 대해 A<sub>γ</sub>들이 주어져 있을 때 A<sub>λ</sub>을 정의하는 방법을 규정한다.
 
보다 형식적으로는, 초한반복초한 반복 정리의 내용은 다음과 같다.
:모임 함수 <b>G<sub>1</sub></b>, <b>G<sub>2</sub></b>, <b>G<sub>3</sub></b>에 대해, 다음을 만족하는 초한 수열 <b>F</b>가 유일하게 존재한다:
:*<b>F</b>의 정의역은 모든 순서수의 모임
초한귀납법을 [[정렬 집합]]에 적용시킬 때는 [[선택 공리]]가 필요하지 않다. 그러나 초한귀납법이 응용되는 여러 경우, [[정렬 정리]]를 사용하여 집합에 정렬 순서를 부여하여야 하는데, 이 경우 [[선택 공리]]가 필요하게 된다.
 
== 바깥 고리 ==
{{집합론}}
* {{eom|title=Transfinite recursion}}
* {{매스월드|id=TransfiniteInduction|title=Transfinite induction}}
* {{웹 인용|url=http://jdh.hamkins.org/transfinite-recursion-as-a-fundamental-principle-in-set-theory/|제목=Transfinite recursion as a fundamental principle in set theory|이름=Joel David|성=Hamkins|날짜=2014-10-20|언어고리=en}}
 
{{집합론}}
[[분류:순서수]]
[[분류:증명]]