가측 함수: 두 판 사이의 차이

[[측도론]]에서, '''가측함수가측 함수'''(可測函數, {{llang|en|measurable function}})는 두 [[가측공간]]원상 사이에 정의되는 [[함수(수학)|원상]]로,에 집합의대한 가측성을 보존하는 함수를 의미한다함수이다.

두 [[가측공간가측 공간]] <math>(X,\mathcal F)</math>, <math>(Y,\mathcal G)</math> 사이의 '''가측함수가측 함수''' <math>f\colon X\to Y</math>는 가측집합의다음 [[원상성질을 (수학)|원상]]이 가측집합인만족시키는 함수이다. 즉, 다음 성질이 성립하여야 한다.

만약 [[공역]]이 [[유클리드 공간]]인 경우, 보통 공역에 [[보렐 시그마 대수]]를 부여한다. 만약 [[정의역]]이 [[유클리드 공간]]일 영우, 보통 공역에 [[르베그 측도|르베그 시그마 대수]]를 부여한다. 즉, "가측함수가측 함수 <math>\mathbb R\to\mathbb R</math>"는 보통 <math>(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>을 의미한다.

두 가측함수가측 함수

가 주어졌을 때, 그 [[합성함수합성 함수]]

역시 가측함수이다가측 함수이다.

=== 보렐 가측함수가측 함수 ===

* <math>X</math>와 <math>Y</math> 사이의 모든 [[연속함수연속 함수]]는 가측함수이다가측 함수이다.

* 반대로, [[루진의 정리]]에 따르면, <math>Y</math>가 [[제2가산공간제2 가산 공간]]이며 <math>X</math>에 [[라돈 측도]]가 부여되었다면, 모든 가측함수 <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>X</math>의 (라돈 측도에 대하여) [[거의 어다서나]] 연속함수이다연속 함수이다.

<math>(X,\mathcal F)</math>가 임의의 가측공간일가측 공간일 경우, 다음이 성립한다.

=== 르베그 가측함수가측 함수 ===

가측함수임의의 함수 <math>f\colon(\mathbb R,\mathcal L(\mathbb R))\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, 모든 실수 ''a''에 대해서 집합및 <math>f^{-1}(ag\colon\mathbb R\to[0,\infty)</math>은에 르베그 가측집합이다. 또한대하여, ''g''가다음 음이두 아닌조건이 임의의 함수일 때 mid{-g,f,g}는 적분 가능하다. 그 역도 마찬가지로 성립한다. (즉,서로 [[필요충분조건동치]]이다.)

정의에 따르면 [[확률변수확률 변수]]는 [[표본 공간]]에서의 가측함수이다.

모든 함수가 가측함수는가측 함수는 아니다. 예를 들면, 만약 <math>A\subset\mathbb R</math>가 불가측가측 집합이 집합인아닌 경우, [[지시함수]] <math>1_A(x)</math>는 불가측함수이다.