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조밀 집합: 두 판 사이의 차이

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[[일반위상수학]]에서, 주어진 공간의 '''조밀집합조밀 집합'''(稠密集合, {{llang|en|dense set}})은 그어떤 공간을 "조밀하게" 채우는 부분공간이다[[부분 집합]]이다.
 
== 정의 ==
[[위상공간 (수학)|위상공간]] <math>X</math>의 부분공간부분 집합 <math>D\subsetsubseteq X</math>가에 대하여 다음 성질을조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 '''조밀 만족시킨다고집합'''이라고 하자한다.
* <math>\operatorname{cl}(D)=X</math>. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.
* 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>의 <math>D</math>와의 [[교집합]]이 비어있지 않다 (<math>D\cap U\ne\varnothing</math>). 다시 말해, <math>X</math>의 모든 점들은 <math>D</math>의 원소이거나 <math>D</math>의 [[극한점]]이다.
* 모든 <math>x\in X</math> 및 <math>x</math>의 모든 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>D\cap U\ne\varnothing</math>.
* <math>X</math>의 모든 점들은 <math>D</math>의 원소이거나 <math>D</math>의 [[극한점]]이다.
이 경우 <math>D</math>를 <math>X</math>의 '''조밀집합'''이라고 한다.
 
== 성질 ==
위상 공간 <math>X</math>는 스스로의 조밀 집합이다. 만약 <math>X</math>가 [[이산 공간]]이라면, 조밀 집합은 <math>X</math> 전체밖에 없다.
 
조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 <math>X\subseteq Y\subseteq Z</math>이며, <math>X</math>가 <math>Y</math>의 조밀 집합이고 <math>Y</math>가 <math>Z</math>의 조밀 집합이라면 <math>X</math>는 <math>Z</math>의 조밀 집합이다.
 
== 예 ==
* 유리수의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 실수의 집합 <math>\mathbb R</math> 안의 조밀집합이다조밀 집합이다.
* 반면, 자연수의 집합 <math>\mathbb N</math>, 정수의 집합 <math>\mathbb Z</math>는 <math>\mathbb R</math>의 조밀집합이조밀 집합이 아니다.
* [a,b) ∪ (b,c] 는 [a,c]안의 조밀집합이다조밀 집합이다.
 
== 참고 문헌 ==
* {{책 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2판|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}
* {{책 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 공저자=J. Arthur Seebach, Jr. |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어고리=en}}
 
== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=Dense}}
 
== 관련된같이 정리보기 ==
* [[조밀한 곳이 없는 집합]]
집합 S ⊂ '''R'''<sup>n</sup>이 있다. 그러면 아래는 모두 동치이다.
* S는 '''R'''<sup>n</sup>안의 조밀집합이다.
* S의 [[닫힘 (수학)#해석학에서의 닫힘|닫힘]] cl(S)는 '''R'''<sup>n</sup>이다. ( cl(s) = '''R'''<sup>n</sup> )
* S의 [[여집합]] S<sup>c</sup>의 모든 점은 S의 [[극한점]]이다.
 
[[분류:일반위상수학]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/조밀_집합"