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1번째 줄: [[복소해석학]]에서, '''정칙함수'''({{llang\|en\|holomorphic function}})는 복소 함수에 대한, [[미분 가능 함수]]와 [[해석함수]] 동시에 대응하는 함수이다. 실수 함수의 경우 [[미분 가능 함수]]의 개념은 [[해석함수]]의 개념보다 훨씬 약하지만, 복소 함수의 경우 같은 개념에 대응한다. '''정칙함수'''(holomorphic function)는 [[복소해석학]]의 중심 대상으로, [[복소평면]]의 [[열린 부분집합]]에서 복소평면으로 가는, [[정의역]]의 모든 점에서 복소 미분가능한 [[함수]]를 말한다. 아래에서 정의할 '복소 미분가능성'은 실함수의 [[미분가능성]]보다 훨씬 강한 조건으로, 복소 미분가능한 함수는 [[무한번 미분 가능]]하며, 자신의 [[테일러 급수]]와 일치한다. ([[해석함수]] 문서의 내용과 비교할 것.) 어떤 함수가 "점 a에서 정칙(복소해석적)이다"라는 말은 이 함수가 점 a에서만 미분가능한 것이 아니라, 그 점의 적당한 열린 근방에서 미분가능하다는 뜻이다. 해석함수(analytic function)와 혼용하여 쓰는 경우도 많은데, 해석함수는 실함수를 포함하여 보다 넓게 쓰는 용어이며, 정칙함수는 위에서 설명한 복소함수인 경우에 쓰는 용어이다. 또한, 정칙함수는 특정한 점을 제외하면 다른 모든 곳에서 각을 보존하는 변환으로서 [[등각사상]](conformal map)의 하나이다. 영어의 'holomorphic'은 '전체', '완전'을 의미하는 'holo'와, '변형'을 의미하는 'morph'의 합성어이다. == 정의 == [[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in U</math>에 대하여, 만약 [[극한]] ~~U가 '''C'''의 열린 부분집합이고, f : U → C가 U 상의 복소함수이며, z<sub>0</sub>가 U에 속하는 점일 때, 아래의 [[극한]]~~ :<math>f'(z_0) = \lim_{z \~~rightarrow~~to z_0} \frac{f(z) - f(z_0) ~~\over~~}{ z - z_0 } </math>▼ 가 존재한다면 <math>f</math>가 '''<math>z_0</math>에서 복소 미분 가능 함수'''({{llang\|en\|function complex-differentiable at <math>z_0</math>}})라고 한다. [[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math> 및 점 <math>z_0\in U</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''<math>z_0</math>에서 정칙 함수'''({{llang\|en\|function analytic at <math>z_0</math>}})라고 한다. ▲:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math> * 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>N\ni z_0</math>가 존재한다. ** 모든 <math>z\in N\cap U</math>에 대하여, <math>f</math>는 <math>z_0</math>에서 미분 가능 함수이다. * 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>N\ni z_0</math> 및 복소수열 <math>c_0,c_1,\dots\in\mathbb C</math>가 존재한다. ** 모든 <math>z\in N\cap U</math>에 대하여, 급수 <math>\sum_{n=0}^\infty c_0(z-z_0)^n</math>는 수렴하며, <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_0(z-z_0)^n</math>이다. [[열린 집합]] <math>U\subset\mathbb C</math> 위에 정의된 [[함수]] <math>f\colon U\to\mathbb C</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>가 정의역의 모든 점에서 정칙 함수라면 <math>f</math>를 '''정칙 함수'''라고 한다. 두 리만 곡면 <math>\Sigma_1</math>, <math>\Sigma_2</math> 사이의 '''정칙 함수'''는 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>f\colon\Sigma_1\to\Sigma_2</math>이다. ~~이 존재하면 f가 z<sub>0</sub>에서 '복소 미분가능하다'고 한다.~~ * <math>\Sigma_1</math>의 정칙 국소 좌표계 <math>\{\phi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb C\}</math> 및 <math>\Sigma_2</math>의 정칙 국소 좌표계 <math>\{\chi_\beta\colon V_\beta\to\mathbb C\}</math>가 주어졌을 때, 임의의 <math>\alpha,\beta</math>에 대하여 <math>\chi_\beta\circ f\circ\phi_\alpha^{-1}</math>는 (이 합성이 정의되는 곳에서) 정칙 함수이다. == 예 == 여기에서 극한은 복소평면 상에서 z<sub>0</sub>으로 접근하는 모든 [[수열]]에 대해 계산되는 것으로, 실수의 경우에 비해 특정한 점에 접근할 수 있는 방법이 훨씬 더 많기 때문에 복소 미분가능성은 실 미분가능성에 비해 훨씬 강한 조건이 된다. 복소 미분은 실함수의 미분과 마찬가지로 [[선형변환\|선형적]]이며 곱의 법칙, 몫의 법칙, 연쇄법칙 등을 똑같이 만족시킨다. '''[[전해석함수]]'''는 <math>\mathbb C\to\mathbb C</math> 정칙 함수이다. 리만 곡면 <math>\Sigma</math> 위의 '''[[유리형 함수]]'''는 <math>\Sigma\to\hat{\mathbb C}</math> 정칙 함수이다 (<math>\hat{\mathbb C}</math>는 [[리만 구]]). [[리우빌의 정리 (복소해석학)\|리우빌의 정리]]에 따라, <math>\hat{\mathbb C}\to\mathbb C</math> 정칙 함수는 [[상수 함수]]밖에 없다. 함수 <math>z\mapsto\|z\|^2</math>는 (실수 평면 위의 함수로서) [[매끈한 함수]]이지만, 그 어느 점에서도 정칙 함수가 아니다. f가 열린 집합 U의 모든 점에서 복소 미분가능하면 이를 'U 상에서 정칙이다'라고 한다. 또한 f가 z<sub>0</sub>를 포함하는 적절한 근방에서 정칙이면 이를 'z<sub>0</sub>에서 정칙이다'라고 하며, 보다 일반적으로 A가 임의의 '''C'''의 부분집합일 때 f가 A를 포함하는 적절한 근방에서 정칙이면 이를 'A에서 정칙이다'라고 한다. == ~~전해석함수~~어원 == 영어의 'holomorphic'은 '전체', '완전'을 의미하는 'holo'와, '변형'을 의미하는 'morph'의 합성어이다. 복소평면 전체에서 정칙인 함수를 [[전해석함수]](entire function)라고 한다. [[다항함수]]와 [[지수함수]]는 정칙함수이며, 정칙함수들의 합이나 곱, 합성 등도 마찬가지이지만, [[자연 로그]]와 [[제곱근]] 함수는 정칙함수가 아니다. == 함께같이 보기 ==▼ 정칙함수는 [[무한대 점]]에서 [[특이점 (수학)\|특이점]]을 가질 수 있으며, 이는 심지어 [[본질적 특이점]]일 수도 있다. 후자의 경우 이 함수를 '''초월적 전해석함수'''라 한다. [[리우빌의 정리 (복소해석학)\|리우빌의 정리]]의 간단한 따름정리로 [[리만 구]](복소평면에 무한대 점을 추가한 것) 전체에서 복소해석적인 함수는 상수함수 뿐임을 알 수 있다. * [[전해석함수]] * [[유리형 함수]] ▲== 함께 보기 == * [[유리형함수]] == 바깥 고리 == * {{매스월드\|id=HolomorphicFunction\|title=Holomorphic function}} * [http://www.encyber.com/search_w/ctdetail.php?masterno=137086&contentno=137086 엔싸이버백과 - 정칙함수] [[분류:복소해석학]]

정칙 함수: 두 판 사이의 차이