고유 함수: 두 판 사이의 차이

[[일반위상수학]]에서, '''고유사상고유 사상'''(固有寫像, {{llang|en|proper map}})은 [[콤팩트 집합]]의 [[원상 (수학)|원상]]이 콤팩트한 [[함수]]이다.

[[위상공간 (수학)|위상공간위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 성질을 만족시키면, <math>f</math> '''고유사상고유 사상''이라고 한다.

:임의의 [[콤팩트 부분공간집합]] <math>K\subset Y</math>에 대하여, <math>K^{-1}(f)\subset X</math>는 [[콤팩트 공간|콤팩트집합]]하다이다.

=== 고유성의필요 필요충분조건조건 · 충분 조건 ===

어떤 [[연속사상연속 사상]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 모든 폐집합의[[닫힌 집합]]의 [[상 (수학)|상]]이 폐집합이며[[닫힌 집합]]이며 또한 점 <math>y\in Y</math>의 [[원상 (수학)|원상]]이 [[콤팩트 집합]]이라면 <math>f</math>는 고유사상이다고유 사상이다. 만약 <math>Y</math>가 콤팩트 생성 [[하우스도르프 공간]]이라면 그 역도 성립한다.

만약 <math>X,Y</math>가 [[거리공간거리 공간]]이라면, 다음 성질은 고유성과 [[동치]]이다.

:거리공간[[거리 공간]] <math>X</math> 속의 [[수열]] <math>x_i\in X</math>이가 주어졌다고 하자. 만약 모든 콤팩트 집합 <math>K</math>에 대하여 <math>K\cap\{x_i\}_{i\in\mathbb N}</math>가 유한집합이라면[[유한 집합]]이라면, <math>(x_i)_{i\in\mathbb N}</math>를 '''무한대로 달아난다'''({{llang|eoen|escape to infinity}})고 한다.<p>
<math>X</math> 속의 모든 무한대로 달아나는 [[수열]]의 [[상 (수학)|상]]이 (<math>Y</math> 속에서) 항상 무한대로 달아난다면, <math>f</math>는 고유사상이고고유 사상이고, 그 역 또한 성립한다.

* 위상공간 <math>X</math>가 [[콤팩트 공간]]인지 여부는 유일한 사상 <math>X\to\{\bullet\}</math> (하나의 점만을 포함하는 위상공간)이 고유사상인지고유 사상인지 여부와 [[동치]]이다.

* 정의역이 [[콤팩트 공간]]이고 [[공역]]이 [[하우스도르프 공간]]인 [[연속함수연속 함수]]는 [[고유사상]]이자고유 사상이자 [[닫힌 사상]](폐집합의 상이 폐집합인 함수)이다.