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== 정의 ==
[[파일:continuity topology.svg|thumb|right|300px|점에서의 연속성]]
[[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math> 및 점 <math>x\in X</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''점 <math>x</math>에서 연속 함수'''이다({{lang|en|continuous at the point ''x''}})라고 한다.
* 임의의 점 <math>x\in X</math> 및 [[근방]] <math>V\ni f(x)</math>에 대하여, <math>f(U)\subseteq V</math>인 <math>x</math>의 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다.
 
[[위상공간위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>Y</math> 사이의 [[함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''연속 함수'''라고 한다.
* 임의의 [[열린 집합]] <math>U\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(Y)\subseteq X</math>는 [[열린 집합]]이다.
* 임의의 [[닫힌 집합]] <math>C\subseteq Y</math>에 대하여, [[원상 (수학)|원상]] <math>f^{-1}(C)\subseteq X</math>는 [[닫힌 집합]]이다.
* [[립시츠 연속 함수]]
* [[동등연속]]
* [[유계작용소유계 작용소]]
 
[[분류:연속함수| ]]