단조 수렴 정리: 두 판 사이의 차이

[[실해석학]]에서, '''단조수렴정리단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 단조증가하거나 단조감소하는 수열이 특정한 조건에 대해 수렴하는 것에 대한 정리이다. 여러 경우에 대한 단조수렴정리가 존재하며, 예를 들어 [[실수]]열 실수열 급수, 혹은 [[측도]] 수열 등에 대한 정리가 각각 존재한다.

== 실수 단조수열의단조 수열의 수렴 ==

만약 ''a_k''이 실수로 이루어진 단조 [[수열]](예를 들어 만약 ''a_k''&nbsp;&le; ''a''_''k''+1일 때)이라면, 이 수열은 극한값(양의 [[무한]], 음의 무한 포함)을 갖는다. 극한값이 유한할 필요충분조건은 이 수열이 [[유계 집합]]여야한다인 것이다.<ref>John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65. 이 정리보다 일반적인 정리의 증명이 실려있다.</ref>

위로 유계인 단조증가수열단조 증가 수열 <math>\langle a_n \rangle</math>에 대하여 증명하자. 이때 수열은 수렴하고 극한값은 <math>\sup_n \{a_n\}</math>이다.

<math>\{ a_n \}</math>이 공집합이 아니고 위로 유계이므로, 이 집합은 실수의 [[최소상계공리상한공리|최소상계상한 성질]]에 의하여 <math>c = \sup_n \{a_n\}</math>이 존재하고 이는 그 값은 유한이다. 모든 <math>\varepsilon > 0</math>에 대하여, <math>a_N > c - \varepsilon </math>을 만족하는 <math>a_N</math>이 존재한다. 만약 존재하지 않는다고 하면 <math>c - \varepsilon </math>이 <math>\{ a_n \}</math>의 상계가 되어야하는데되어야 하는데 이는 <math>c = \sup_n \{a_n\}</math>라는 것과 모순이다. <math>\langle a_n \rangle</math>이 증가수열이므로, <math>\forall n > N</math>에 대해 <math> |c - a_n| = c - a_n \leq c - a_N < \varepsilon </math>가 성립하고, 정의에 의해 <math>\langle a_n \rangle</math>의 극한값은 <math>\sup_n \{a_n\}</math>이 된다. <math>\Box</math>

같은 방식으로 실수로 이루어진 아래로 유계인 단조감소수열에단조 감소 수열에 대해서도 생각하면, 이 수열의 하계가 극한값이 된다는 사실을 알 수 있다.

== 르베그 단조수렴정리단조 수렴 정리 ==

이 정리는 앞에서 언급한 정리를 보다 일반화 한 것이며, 단조수렴정리들단조 수렴 정리들 중에서도 가장 중요한 정리중 하나이다. 정리의 이름은 [[앙리 르베그]]에서 유래하였으며, [[베포 레비]] 정리로도 불린다. 이 정리는 다음과 같다.

&mu;를 [[측도]]라고 하자. 만약 ''f'', ''f₁'', ''f₂'', ... 가 &mu;-[[르베그가측 적분|측도가능함수]]하며이며 <math>[0,\infty]</math>에서 값을 갖는 함수이고, 각각의 ''k'' 와 ''x''에 대하여 ''f_k''(''x'')&nbsp;&le; ''f''_''k''+1(''x'')이 성립하고,

:<math>\lim_{k\to\infty} f_k=f</math> (&mu; 측도 기준으로 [[거의 모든 곳에서어디서나]])

* [[지배수렴정리지배 수렴 정리]]