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1번째 줄: 기하학에서, '''오비폴드'''({{llang\|en\|orbifold}})는 국소적으로 [[유한군]]의 선형작용에 대한 [[유클리드 공간]]의 [[몫공간]]과 [[동형]]인 [[~~위상공간~~위상 공간 (수학)\|위상 공간]]이다. 오비폴드는 일반적으로 [[특이점]]을 갖기 때문에 [[다양체]]가 아니나, 다양체를 일반화한 것으로 볼 수 있다. (다양체는 국소적으로 에우클레이데스공간과 같은 ~~위상공간이므로~~위상 공간이므로, 오비폴드의 한 특수한 경우다.) [[수학]]에서 연구되는 분야였지만 최근 [[물리학]]의 [[끈 이론]]과 함께 발전해 왔다. ==정의== ''n''차원의 오비폴드는 다음과 같이 정의한다. [[하우스도르프 ~~위상공간~~공간]] ''X''와 그 [[열린 덮개]] <math>U_i</math>를 생각하자. (<math>\{U_i\}</math>는 유한 교집합에 대하여 닫혀 있다고 가정하자.) 각 <math>U_i</math>에 대하여, ~~연속함수~~[[연속 함수]] <math>\phi_i\colon U_i\to V_i</math>를 가정하자. 여기서 <math>V_i</math>는 <math>\mathbb R^n</math>의 부분집합으로, 유한군 <math>\Gamma_i</math>의 선형작용에 대하여 불변하다. <math>\phi_i</math>가 <math>U_i\to V_i/\Gamma_i</math>의 [[위상동형사상]]을 정의한다고 가정하자. 이들을 '''오비폴드 ~~국소좌표계~~국소 좌표계'''라고 부른다. 일련의 오비폴드 ~~국소좌표계~~국소 좌표계 <math>(U_i,V_i,\Gamma_i,\phi_i)</math>의 집합은 다음과 같은 조건을 만족하면 '''오비폴드 좌표근방계'''({{lang\|en\|orbifold atlas}})를 이룬다. * <math>U_i\subset U_j</math>면 ~~단사준동형사상~~단사 준동형 사상 <math>\Gamma_i\to\Gamma_j</math>가 존재한다. * <math>U_i\subset U_j</math>면 <math>\Gamma_i</math>에 대하여 <math>\Gamma_i</math>-~~위상동형사상~~위상 동형 사상 <math>\psi_{ij}\colon V_i\to W_j\subset V_j</math>이 존재한다. (<math>W_j</math>는 <math>V_j</math>의 열린 ~~부분집합~~부분 집합) * <math>\phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i</math> * any other possible gluing map <math>V_i\to V_j</math>는 <math>g\psi_{ij}</math>의 꼴이다 (여기서 <math>g\in\Gamma_j</math>). 19번째 줄: 은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 '''축소 오비폴드'''({{llang\|en\|reduced orbifold}})라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 ([[유클리드 공간]]의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. [[끈 이론]]에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, [[유클리드 공간]]의 몫공간 <math>\mathbb R^n/\Gamma</math> 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다. 모든 ~~다양체는~~[[다양체]]는 자명하게 (축소) 오비폴드이다. 예를 들어, 군 <math>G</math>를 [[자명군]]으로 놓으면 된다. 또한, 경계를 갖는 다양체({{llang\|en\|manifold with boundary}}) 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계를 갖는 다양체 <math>M</math>이 주어지면, 그 '''~~이중덮개~~이중 덮개'''({{llang\|en\|double}})를 다음과 같이 정의하자. :<math>D(M)=M\times\{0,1\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M)</math> 즉, <math>M</math>의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. <math>M</math>의 이중덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, <math>M</math>은 다음과 같은 [[몫공간]]으로 나타낼 수 있다.

오비폴드: 두 판 사이의 차이