위키백과

군의 표현: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기
← 이전 편집다음 편집 →
내용 삭제됨 내용 추가됨
시각위키텍스트
편집 요약 없음
편집 요약 없음
2번째 줄:
 
== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] ''G'' 의 [[체 (수학)|체]] ''K'' 상의 [[벡터공간벡터 공간]] ''V'' 에 대한 '''표현'''은 ''G'' 에서 [[일반선형군]] GL(''V'') 로의 [[군 준동형사상]]을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 [[사상 (수학)|사상]]
:<math>D \colon G \to \mathop{GL}(V)</math>
로서 ''G'' 의 임의의 원소 ''g''<sub>1</sub> 와 ''g''<sub>2</sub> 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.
9번째 줄:
여기서, ''e'' 는 ''G'' 의 항등원, 1 은 GL(''V'') 의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.
 
만약 표현이 일대일함수, 즉, [[단사함수단사 함수]]라면, '''충실한 표현'''({{llang|en|faithful representation}})이라고 한다.
 
표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터공간 ''V'' 를 '''표현공간표현 공간'''({{llang|en|representation space}})이라 하고, ''V'' 의 [[벡터공간의 차원|차원]]을 이 표현의 '''차원'''({{lang|en|dimension}}) 이라고 한다. [[언어의 남용]]으로서, ''G'' 에서 GL(''V'') 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 ''V'' 를 ''G'' 의 표현이라 부르기도 한다.
 
''V'' 가 유한한 차원 ''n'' 일 때에는 ''n'' 을 '''차수'''({{lang|en|degree}})라 부르기도 한다. 이 때에는, ''V'' 의 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 하나 선택하여 GL(''V'') 를 ''K'' 상의 ''n''×''n'' [[가역행렬]]들의 군 GL(''n'', ''K'') 와 동일시하는 것이 일반적이다.
 
''G'' 가 [[위상군]]이고 ''V'' 가 [[위상벡터공간위상 벡터 공간]]일 경우, ''G'' 의 ''V'' 에 대한 표현 ''D'' 가 '''연속 표현'''({{llang|en|continuous representation}})이라는 것은
:<math>\begin{array}{lll}
\Phi: & G\times V & \to V
\\ & (g,v) & \mapsto D(g)v
\end{array}</math>
로 정의된 함수 &Phi; 가 [[연속함수 (위상수학)|연속 함수]]인 경우를 말한다.
 
== 동등한 표현 ==
31번째 줄:
== 불변부분공간과 기약표현 ==
{{본문|기약표현}}
벡터공간벡터 공간 ''V'' 의 부분공간부분 공간 ''W'' 가 군 ''G'' 의 [[작용]]에 대해 '''불변'''({{llang|en|invariant}})이라는 것은 부분공간부분 공간 상의위의 임의의 벡터에 어떠한 ''D''(''g'') 를 작용시켜도 벡터가 부분공간 상에위에 남아있는 부분공간을부분 공간을 말한다. 즉, ''G'' 의 모든 원소 ''g'' 에 대해
:<math> D(g) W \subseteq W</math>
이 성립하면 ''W'' 를 '''불변부분공간'''({{lang|en|invariant subspace}})이라 한다.
 
'''약분가능표현약분 가능 표현'''({{llang|en|reducible representation}})은 불변부분공간이불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분가능표현이약분 가능 표현이 아닌 표현은 '''[[기약표현]]'''({{lang|en|irreducible representation}})이라고 한다.
 
== 응용 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/군의_표현"