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대수적으로 닫힌 체: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>kK</math>에 대한대하여, 1변수다음 다항식의조건들이 환서로 <math>k[t[동치]</math>를]이며, 생각하자.이를 만약만족시키는 모든체를 <math>p(t)\in'''대수적으로 k[t]</math>에닫힌 대하여,체'''라고 한다.
* [[다항식환]] <math>K[t]</math>의 임의의 원소 <math>p(t)\in K[t]</math>에 대하여, <math>p(t_0)=0</math>인 <math>t_0\in K</math>가 항상 적어도 하나가 존재한다.
:<math>p(t_0)=0</math>
* <math>F</math>를 기반으로 한 [[다항식환]] <math>FK[x]</math>의 [[기약다항식기약 다항식]]이 모두 일차식이다.▼
인 <math>t_0\in k</math>가 항상 적어도 하나가 존재한다면, <math>k</math>를 '''대수적으로 닫힌 체'''라고 한다.
* <math>FK</math>의 [[대수적 확대]]가 <math>FK</math> 자신밖에 존재하지 않는다.▼
* 임의의 <math>FK^n</math>에 대해, <math>FK^n \to FK^n</math>인 [[선형사상선형 변환]]은 항상 어떠한 [[고윳값]]을 가진다. (이것은 해당 선형사상의선형 변환의 [[특성다항식]]이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)▼
 
== 분류 ==
두 대수적으로 닫힌 체 <math>K</math>와 <math>K'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 [[체 (수학)|체]]로서 서로 [[동형]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 같은 [[체의 표수|표수]]를 가지며, 또한 같은 절대 [[초월 차수]]([[대수 독립 집합]]의 최대 크기)를 갖는다.
따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 <math>p</math>와 초월 차수 <math>\kappa</math>로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은
:<math>\overline{\mathbb F_p[\{x_i\}_{i\in I}]}</math>
또는
:<math>\overline{\mathbb Q[\{x_i\}_{i\in I}]}</math>
의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, [[복소수체]]는 초월 차수가 <math>2^{\aleph_0}</math>인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,
:<math>\mathbb C\cong\overline{\mathbb Q[\{x_i\}_{i\in 2^{\aleph_0}]}</math>
이다.
 
== 성질 ==
어떤절대 체초월 차수가 [[기수 (수학)|기수]] <math>F\kappa</math>가인 대수적으로 닫혀닫힌 있다는체 것은 다음의 명제와<math>K</math>의 [[동치집합의 크기]]이다는 다음과 같다.
:<math>|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}</math>
▲* <math>F</math>를 기반으로 한 [[다항식환]] <math>F[x]</math>의 [[기약다항식]]이 모두 일차식이다.
이는 <math>\kappa>\aleph_0</math>이면 절대 초월 차수와 같으므로, [[비가산 집합|비가산]] 대수적으로 닫힌 체들은 [[집합의 크기]]와 [[체의 표수]]에 따라 분류된다. (물론, 이는 [[가산 집합|가산]] 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)
▲* <math>F</math>의 [[대수적 확대]]가 <math>F</math> 자신밖에 존재하지 않는다.
▲* 임의의 <math>F^n</math>에 대해, <math>F^n \to F^n</math>인 [[선형사상]]은 항상 어떠한 [[고윳값]]을 가진다. 이것은 해당 선형사상의 [[특성다항식]]이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.
 
== 예 ==
줄 27 ⟶ 40:
* {{매스월드|id=AlgebraicallyClosed|title=Algebraically closed}}
* {{매스월드|id=AlgebraicClosure|title=Algebraic closure}}
 
== 같이 보기 ==
* [[대수적 폐포]]
 
[[분류:추상대수학]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/대수적으로_닫힌_체"