아벨 범주: 두 판 사이의 차이

** [[영 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>이 존재한다.

** <math>\mathcal C</math>의 임의의 유한 개의 원소 <math>A_1,\dots,A_n</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math>과 [[쌍대곱]] <math>A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n</math>이 항상 존재한다.

* <math>\mathcal C</math>는 다음 성질들을 만족시킨다.

** (준가법성 {{llang|en|preadditivitiy}}) <math>\mathcal C</math>는 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>에 대하여 풍성하다. 즉, 모든 <math>A,B\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\hom(A,B)</math>는 아벨 군이며, 임의의 <math>A,B,C\in\mathcal C</math> 및 <math>h,k\colon A\to B</math>, <math>f,g\colon B\to C</math>에 대하여 <math>(f+g)(h+k)=fh+gh+fk+gk</math>이다.

** (가법성) <math>\mathcal C</math>의 임의의 유한 개의 원소 <math>A_1,\dots,A_n</math>에 대하여, [[곱 (범주론)|곱]] <math>A_1\times A_2\times\cdots\times A_n</math>과 [[쌍대곱]] <math>A_1\coprod A_2\coprod\cdots\coprod A_n</math>이 항상 존재한다. (준가법성에 따라서, 유한 곱은 유한 [[쌍대곱]]과 같다.)

** (준아벨성 {{llang|en|pre-Abelian}}) 모든 [[사상 (수학)|사상]]이 [[핵 (범주론)|핵]]과 [[여핵]]을 가진다.

두 번째 정의에서, 처음 세 조건만을 만족시키는 범주를 '''준아벨 범주'''({{llang|en|pre-Abelian category}}, 처음 두 조건만을 만족시키는 범주를 가법 범주({{llang|en|additive category}}), 처음 조건만을 만족시키는 범주를 준가법 범주({{llang|en|preadditive category}})라고 한다.

 

* '''Ab'''에서 [[영 대상]]은 [[자명군]] <math>\{0\}</math>이다.

* '''Ab'''에서 이진 곱과 이진 쌍대곱은 일치하며, 곱군 <math>G\times H</math>이다. ('''Ab'''에서 무한개의 곱과 무한개의 쌍대곱은 서로 다를 수 있다.)

보다 일반적으로, 1을 가진 환 <math>R</math>에 대한 좌[[가군]]들과 가군 준동형사상들의 범주 <math>_R\operatorname{Mod}</math> (또는 우가군들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>)은 아벨 범주를 이룬다. [[아벨 군]]은 정수 <math>\mathbb Z</math>에 대한 가군이므로, 이는 아벨 군의 범주를 일반화한 것이다.