동형 사상: 두 판 사이의 차이

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* [[단사 사상]]이자 [[분할 전사 사상]]이다.
* [[전사 사상]]이자 [[분할 단사 사상]]이다.
일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.
 
[[구체적 범주]] <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>에서, 자유 함자(망각 함자 <math>\mathcal C\to\operatorname{Set}</math>의 왼쪽 수반 함자 <math>\operatorname{Set}\to\mathcal C</math>가 존재한다면, <math>\mathcal C</math>의 사상에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 동형 사상이다.
* [[전단사 함수]]이다.
 
==예==
여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.
===로그함수===
* [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]이다.
* [[대수 구조 다양체]]의 범주(군, 체, 환 등)에서, 동형 사상은 [[전단사]] [[준동형 사상]]이다.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주에서, 동형 사상은 [[위상동형사상]]이다.
* [[매끈한 다양체]]의 범주에서, 동형 사상은 [[미분동형사상]]이다.
 
== 바깥 고리 ==
밑이 어떤 b로 고정되어 있을 때, 로그함수 <math>\log_b</math>는 양의 실수 <math>\mathbb{R}^+</math> 를 실수 전체 <math>\mathbb{R}</math>에 대응시킨다. 수학기호를 써서 표현하면,
* {{eom|title=Isomorphism}}
 
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/isomorphism|제목=Isomorphism|작품명=nLab}}
:<math>\log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \!</math>
 
이 사상은 [[단사 함수|단사]]이며, 동시에 [[전사 함수|전사]]이다. 즉, 전단사 사상이다.
 
더불어, 로그함수는 정의역과 치역 각각에서 정의되는 연산도 같이 보존한다. 특히 양의 실수에서 곱셈으로 정의되는 군 <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math>을 살펴보면, 로그함수는 다음 관계를 만족한다.
 
:<math>\log_b(x \times y) = \log_b x + \log_b y \!</math>
 
실수는 덧셈에 대해서도 군이기 때문에, 로그함수는 군 <math>(\mathbb{R}^+,\times)</math> 에서 군 <math>(\mathbb{R},+)</math>로의 동형사상이다.
 
이것이 실용적으로 뜻하는 것은, 우리가 실수의 곱셈을 더 간단한 실수의 덧셈으로 바꾸어 할 수 있다는 것이다.
 
== 같이 보기 ==
*[[자기동형사상]]
* [[준동형사상전사 사상]]
* [[단사 사상]]
*[[전사준동형사상]]
* [[동형사상동형 정리]]
*[[단사준동형사상]]
*[[등거리변환]]
*[[동형사상 정리]]
 
{{토막글|대수학}}
 
[[분류:추상대수학]]
[[분류:대수학]]
[[분류:범주론]]