벡터 공간: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
17번째 줄:
** ([[분배 법칙]]) 임의의 <math>a,b\in K</math> 및 <math>u,v\in V</math>에 대하여, <math>(a+b)\cdot(u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v</math>
실수체 <math>\mathbb R</math>에 대한 벡터 공간을 '''
===
{{본문|기저 (선형대수학)}}
주어진 벡터 공간 V에 대해서, V의 부분집합 W가
# 덧셈에 대해서 닫혀있고,
# 스칼라 곱에 대해서도 닫혀 있으면,
이 W를 V의 '''(선형) 부분 공간'''(部分空間, {{llang|en|linear subspace}})이라고 부른다. 부분 공간이 그 자체로 벡터 공간이 되는 것은 자명하다. 두 부분 공간의 교집합 역시 부분 공간을 이룬다.
벡터 공간 <math>V</math>의 부분 집합 <math>S</math>에 대하여, <math>S</math>의 '''생성'''({{llang|en|span}}) <math>\operatorname{Span}S</math>는 <math>S</math>를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 <math>S</math>에서,
54번째 줄:
=== 범주론적 성질 ===
체 <math>K</math>에 대한 벡터 공간들과 이들 사이의 [[선형 변환]]들은 [[범주 (수학)|범주]]를 이루며, <math>\operatorname{Vect}_K</math>라고 쓴다. 이는 [[아벨 범주]]의 대표적인 예이다. <math>\operatorname{Vect}_K</math>에서의 대표적 범주론적 연산들은 다음과 같다.
* [[완비 범주]]이며, [[쌍대 완비 범주]]이다.
* (유한) [[곱 (범주론)|곱]]과 [[쌍대곱]]이 일치하며, [[직합]] <math>V\oplus W</math>이다.▼
** [[곱 (범주론)|곱]]은 (아벨 군으로서의) [[직접곱]]이며, [[쌍대곱]]은 (아벨 군으로서의) [[직합]]이다.
* [[영 대상]]은 0차원 벡터 공간 <math>\{0\}</math>이다.▼
▲** [[영 대상]]은 0차원 벡터 공간 <math>\{0\}</math>이다.
* 직합 말고도, [[텐서곱]] <math>V\otimes W</math>을 가지며, 이에 따라 <math>\operatorname{Vect}_K</math>는 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간 <math>K</math>이다.
* 집합으로의 망각 함자 <math>F\colon\operatorname{Vect}_K\to\operatorname{Set}</math>, <math>(V,+,\cdot)\mapsto V</math>가 존재하며, 이에 따라서 [[구체적 범주]]를 이룬다. 망각 함자는 [[좌수반 함자]] <math>\operatorname{Span}\dashv F</math>를 갖는데, <math>\operatorname{Span}</math>은 집합 <math>S</math>를 <math>|S|</math>차원 벡터 공간으로 대응시킨다.
| |||