가군: 두 판 사이의 차이

[[추상대수학]]에서, [[환 (수학)|환]] 상의 '''가군'''(加群) 또는 '''모듈'''(module)은, [[벡터공간벡터 공간]]의 개념을 확장한 것으로 볼 수 있다. 벡터공간과는벡터 공간과는 다르게, 가군에서는 [[스칼라 (수학)|스칼라]]가 임의의 환의 원소가 될 수 있다. 따라서 가군은 벡터공간과벡터 공간과 마찬가지로 [[아벨 군]]의 구조를 갖는다. 이에 추가해 환의 원소와 가군의 원소 사이에 곱셈이 정의되며, 이 곱셈은 [[결합법칙]]과 [[분배법칙]]을 만족한다.

가군은 [[군 (수학)|군]]의 [[표현론 (수학)|표현론]](representation theory)과 밀접한 연관이 있다. 또한 가군은 [[가환대수학]]과 [[호몰로지 대수학]]의 주요 대상이며, [[대수기하학]]과 [[대수적 위상수학]]에서 중요하게 사용되고 있다.

함수 <math>f_r : M \rightarrow M</math>를 <math>f_r (x) = rx</math>라고 하면 위의 조건 1에 의하여 <math>M</math>에서 <math>M</math> 자신으로의 [[군 준동형사상]]이 되고, <math>f : R \rightarrow End(M)</math>을 <math>f(r)=f_r</math>라고 하면, 나머지 세 조건에 의해 [[환 준동형사상]]이 된다. 여기에서 <math>End(M)</math>는 <math>M</math>의 [[자기준동형환]]이다. 따라서 가군은 아벨 군에 환이 [[군의 작용|작용]]하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 벡터공간에[[벡터 공간]]에 작용하는 경우를 다루는 [[군 표현론|표현론]]을 일반화한 것이다.

* [[체 (수학)|체]]의 가군은 [[벡터공간벡터 공간]]이라고 불린다. 보다 일반적으로, [[나눗셈 환]]([[사원수]]의 대수 등)의 가군론은 [[선형대수학]]으로 완전히 다룰 수 있다.

== 함께참고 보기문헌 ==