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범주 (수학): 두 판 사이의 차이

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=== 작은 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음을 정의한다.
'''작은 범주'''({{llang|en|small category}})는 ob(C)와 hom(C)가 둘 다 [[집합]]인 경우, 즉 [[고유 모임]]이 아닌 경우를 말한다. 작은 범주가 아닌 범주를 '''큰 범주'''({{llang|en|large category}})라고 한다. 임의의 대상 a와 b에 대해 사상 모임 hom(a,b)가 집합인 범주를 '''국소적으로 작은 범주'''({{llang|en|locally small category}})라고 하며, 이 경우 사상 모임을 '''사상 집합'''(寫像集合, {{llang|en|hom-set}})이라고 한다. 집합의 범주를 비롯해 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 (비록 작은 범주는 아닐 수 있으나) 국소적으로 작다.
* 만약 <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 <math>\hom(\mathcal C)</math>가 둘 다 [[집합]]인 경우 (즉, [[고유 모임]]이 아닌 경우), <math>\mathcal C</math>를 '''작은 범주'''({{llang|en|small category}})라고 한다.
* 만약 임의의 <math>X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C})</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)</math>가 [[집합]]인 경우 (즉, [[고유 모임]]이 아닌 경우), <math>\mathcal C</math>를 '''국소적으로 작은 범주'''({{llang|en|locally small category}})라고 하며, 사상 모임을 '''사상 집합'''(寫像集合, {{llang|en|hom-set}})이라고 한다.
작은 범주가 아닌 범주를 '''큰 범주'''({{llang|en|large category}})라고 한다. [[집합]]과 [[함수]]의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.
 
만약 [[그로텐디크 전체]]를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 <math>\mathcal U</math>에 대하여, 다음과 같이 정의한다.
* 만약 <math>\operatorname{ob}(\mathcal C})\in\mathcal U</math>이며 <math>\hom(\mathcal C)\in\mathcal U</math>인 경우, <math>\mathcal C</math>를 '''<math>\mathcal U</math>-작은 범주'''({{llang|en|<math>\mathcal U</math>-small category}})라고 한다.
* 만약 임의의 <math>X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C})</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)\in\mathcal U</math>인 경우, <math>\mathcal C</math>를 '''국소적으로 <math>\mathcal U</math>-작은 범주'''({{llang|en|locally <math>\mathcal U</math>-small category}})라고 한다.
 
==예==
각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.
{| class="wikitable"
*'''Set'''은 [[집합]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 집합 사이의 함수이며, 그들 사이의 합성은 일반적인 함수의 합성으로 정의된다. (아래는 '''Set'''에 추가적인 구조를 준 뒤, 사상들이 그 구조를 보존하도록 제한하여 만들어지는 범주들이다. 이런 범주를 [[구체적 범주]]라고 한다.)
|-
**'''Ord'''는 [[원순서 집합]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[단조함수]]이다.
! 기호 !! 대상 !! 사상 !! 기타
**'''Mag'''는 [[마그마 (대수학)|마그마]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[마그마 준동형사상]]이다.
|-
**'''Grp'''은 [[군 (수학)|군]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[군 준동형사상]]이다.
| Set || [[집합]] || [[함수]] || 사상의 합성은 [[함수의 합성]]이다.
**'''Ab'''는 [[아벨 군]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 군 준동형사상이다.
|-
**'''Vect'''<sub>K</sub>는 고정된 [[체 (수학)|체]] K 상의 [[벡터 공간]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[선형변환]]이다.
| Ord || [[원순서 집합]] || [[단조함수]]
**'''Top'''은 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[연속 함수]]이다.▼
|-
* '''Cat'''은 작은 범주들을 대상으로 갖는 범주로, 사상은 [[함자 (수학)|함자]]이다.
| Mag || [[마그마 (대수학)|마그마]] || 마그마 [[준동형 사상]]
* '''Rel'''은 집합들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 [[관계 (수학)|관계]]이다.
|-
*임의의 [[부분 순서 집합]] (P, ≤)에 대해, P의 각 원소를 대상으로 놓고 x ≤ y일 때 x에서 y로의 사상이 있는 것으로 하면 이는 작은 범주가 된다.
| Grp || [[군 (수학)|군]] || [[군 준동형 사상]]
*임의의 범주 C에 대해, 대상은 그대로 놓고 모든 사상의 방향을 반대로 바꾸면 C의 [[쌍대 범주]] C<sup>op</sup>가 된다.
|-
| Ab || [[아벨 군]] || [[군 준동형 사상]]
|-
| Vect<sub>''K''</sub> (<math>K</math>는 [[체 (수학)|체]]) || <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] || [[선형 변환]]
|-
▲**'''| Top'''은 || [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]들을 대상으로 하는 범주로, 사상은|| [[연속 함수]]이다.
|-
| Cat || 작은 범주 || [[함자 (수학)|함자]]
|-
| Rel || [[집합]] || [[관계 (수학)|관계]]
|-
| [[부분 순서 집합]] <math>(P,\le)</math> || <math>P</math>의 원소 || <math>\hom(x,y)=\{(x,y)\colon x\le y\}</math> || 작은 범주를 이룬다. 사상의 합성은 <math>(y,z)\circ(x,y)=(x,z)</math>
|-
| [[모노이드]] <math>(M,\cdot,1_M)</math> || <math>1_M</math> (유일한 대상) || <math>M</math>의 원소 || 사상의 합성은 모노이드 이항 연산 <math>m\circ n=m\cdot n</math>
|-
| <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math> (<math>\mathcal C</math>는 임의의 범주) || <math>\mathcal C</math>의 대상 || <math>\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X) || 사상의 합성은 <math>f\circ_{\mathcal C^{\operatorname{op}}} g=g\circ_{\mathcal C} f</math>
|}
 
== 역사 ==
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/범주_(수학)"