열린 함수와 닫힌 함수: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>
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* 임의의 <math>x\in X</math> 및 그 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>f(U)\supseteq V</math>인 <math>f(x)</math>의 [[열린 근방]] <math>V\ni f(x)</math>가 존재한다.
* 임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(\operatorname{int}S)\subseteq\operatorname{int}f(S)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이다.
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 함수를 '''닫힌 함수'''라고 한다.
* 모든 [[닫힌집합]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(C)\subseteq Y</math>가 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, <math>f(\operatorname{cl}S)\supseteq\operatorname{cl}f(S)</math>이다. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이다.
== 성질 ==
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만약 <math>Y</math>가 [[이산 공간]]이라면, 모든 함수 <math>X\to Y</math>는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).
두 개의 열린 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 [[함수의 합성|합성]]은 닫힌 함수이다.
위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[곱공간]] <math>\prod_{i\in I}X_i</math>이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 <math>\pi_i\prod_{i\in I}X_i\to X_i</math>은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.
만약 <math>Y</math>가 [[콤팩트 공간]]이라면, 사영 <math>X\times Y\to X</math>는 닫힌 사상이다 ([[튜브 보조정리]]).
== 예 ==
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:<math>\mathbb R^2\to\mathbb R</math>
:<math>(x,y)\mapsto x</math>
는 [[전사 함수]]이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 <math>\{(x,1/x)\colon x\in\mathbb R\}\subset\mathbb R^2</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>(-\infty,0)\cup(0,\infty)</math>이므로 닫힌집합이 아니다.
== 바깥 고리 ==
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