모듈러 산술: 두 판 사이의 차이
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:<math>\left(\mathbb Z/\left(\prod_pp^{n_p}\right)\right)^\times\cong\prod_p(\mathbb Z/(p^{n_p}))^\times</math>
이다.
=== 아이디얼 ===
<math>\mathbb Z/(n)</math>에서도 정수환의 경우와 마찬가지로 [[아이디얼]]과 [[소 아이디얼]] 및 [[극대 아이디얼]]의 개념을 정의할 수 있다.
<math>\mathbb Z/(n)</math>의 아이디얼은 모두 <math>n</math>의 약수에 의하여 생성되는 [[주 아이디얼]]이다. 즉, <math>(d)</math> (<math>d\mid n</math>)의 꼴이다.
이 아이디얼들 가운데, 소 아이디얼인 것은 <math>d</math>가 [[소수 (수론)|소수]]인 경우이다. 즉, <math>\mathbb Z/(n)</math>의 소 아이디얼은 <math>n</math>의 소인수들의 [[주 아이디얼]]들이다. <math>\mathbb Z/(n)</math>에서 극대 아이디얼의 개념과 소 아이디얼의 개념은 서로 일치한다. 즉, 모든 극대 아이디얼은 소 아이디얼이며, 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
따라서, <math>\mathbb Z/(n)</math>의 [[크룰 차원]]은 다음과 같다.
:<math>\dim\mathbb Z/(n)=\begin{cases}1&n=0\\-\infty&n=1\\0&n\ne0,1\end{cases}</math>
이는 [[대수기하학]]적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. <math>n</math>의 [[소인수 분해]]가
:<math>n=\prod_{i=1}^kp_i^{n_i}</math>
라면, [[중국인의 나머지 정리]]에 따라서
<math>\mathbb Z/(n)\cong\prod_{i=1}^k\mathbb Z/(p_i^{n_i})</math>
이다. 이는 [[가환환]]의 범주에서의 [[곱 (범주론)|곱]]이므로, [[아핀 스킴]]의 범주에서의 [[쌍대곱]]이 된다. 즉,
:<math>\operatorname{Spec}\mathbb Z/(n)=\bigsqcup_i\operatorname{Spec}\mathbb Z/(p_i^{n_i})</math>
가 된다. 각 <math>\mathbb Z/(p_i^{n_i})</math>는 하나의 [[소 아이디얼]] <math>(p_i)</math>을 갖는 [[국소환]]이며, 따라서 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서는 [[한원소 집합]]이다. 즉, [[아핀 스킴]] <math>\operatorname{Spec}\mathbb Z/(n)</math>은 위상 공간으로서 <math>n</math>의 각 소인수에 대응하는 <math>k</math>개의 점들로 구성된 공간이다.
(만약 <math>n=0</math>일 경우, 이는 [[정수환]]의 스펙트럼이므로, 1차원이다. <math>n=1</math>일 경우, [[자명환]]의 스펙트럼은 [[공집합]]이다.)
== 예 ==
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