값매김환: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
정역 <math>D</math> 위의 '''값매김'''({{llang|en|valuation}}) <math>(\Gamma,\le,\nu)</math>은 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.
<math>D</math>가 [[정역]]이고, 그 [[분수체]]가 <math>\operatorname{Frac}(D)</math>이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''값매김환'''이라고 한다.▼
* [[아벨 군]] <math>\Gamma</math>. 이를 '''값군'''(값群, {{llang|en|value group}})이라고 한다.
* <math>\Gamma</math> 위의 [[전순서]] <math>\le\subseteq \Gamma^2</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (전순서의 병진 불변성) 임의의 <math>g,h,k\in\Gamma</math>에 대하여, <math>g\le h</math>라면 <math>g+k\le h+k</math>이다.
* <math>D=\{x\in(\operatorname{Frac}D)^\times\colon0\le\nu(x)\}\cup\{0\}</math>
▲<math>D</math>가 [[정역]]이고, 그 [[분수체]]가 <math>\operatorname{Frac}
* 임의의 <math>x\in\operatorname{Frac}D</math>에 대하여, <math>x=0</math>이거나 <math>x\in D</math>이거나 <math>x^{-1}\in D</math>이다.
* [[베주 정역]]이자 [[국소환]]이다.
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* <math>D</math>의 [[주 아이디얼]]들은 포함 관계에 대하여 [[전순서 집합]]을 이룬다.
* 임의의 <math>a,b\in D</math>에 대하여, <math>a\mid b</math>이거나 <math>b\mid a</math>이다.
* 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.
임의의 값매김환 <math>D</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.
:<math>\Gamma=(\operatorname{Frac}D)^\times/D^\times</math>
:<math>\nu\colon(\operatorname{Frac}D)^\times\to G</math>
:<math>\nu\colon x\mapsto[x]=x+D^\times</math>
:<math>[x]\le [y]\iff xy^{-1}\in D</math>
즉, 값군 <math>G</math>는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 [[몫환]]이며, 값매김 <math>\nu</math>는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 <math>(D\setminus\{0\})/D^\times</math>이다.
또한, 통상적으로 <math>\nu(0)=\infty</math>이며, <math>\nu(0)>\nu(a)\forall a\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면 값매김 <math>\nu</math>는 다음과 같은 성질을 만족한다.
* <math>\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}</math>
* <math>\nu(a)=\infty</math>일 필요충분조건은 <math>a=0</math>▼
이 가운데, 두 번째는 [[삼각 부등식]] <math>-|a+b|\ge-|a|-|b|</math>를 강화한 것이다.▼
== 성질 ==
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* [[체 (수학)|체]]이거나 아니면 [[이산 값매김환]]이다.
=== 값매김환의 아이디얼 ===
값매김 <math>(\Gamma,\nu)</math>를 갖춘 값매김환 <math>D</math>의 [[아이디얼]]은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
▲:<math>\nu\colon\operatorname{Frac}(D)^\times\to G=\operatorname{Frac}(D)^\times/D^\times</math>
값군 <math>\Gamma</math>의 '''선분'''({{llang|en|segment}})은 다음 조건을 만족시키는 [[부분 집합]] <math>\Delta\subseteq\Gamma</math>이다.
* 임의의 <math>\
값군 <math>\Gamma</math>의 '''고립 부분군'''({{llang|en|isolated subgroup}})은 선분이자 [[부분군]]인 진부분 집합이다.
그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.
▲* <math>\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}</math>
* 이 함수는 <math>D</math>의 진 아이디얼들과, <math>\Gamma</math>의 선분들 사이의 [[일대일 대응]]을 정의한다.
▲* <math>\nu(a)=\infty</math>일 필요충분조건은 <math>a=0</math>
* 이 함수는 <math>D</math>의 영 아이디얼이 아닌 [[소 아이디얼]]들과, <math>\Gamma</math>의 고립 부분군들 사이의 [[일대일 대응]]을 정의한다.
▲이 가운데, 두 번째는 [[삼각 부등식]] <math>-|a+b|\ge-|a|-|b|</math>를 강화한 것이다.
== 예 ==
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