폰트랴긴 쌍대성: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
폰트랴긴 쌍대성 아래, 하우스도르프 아벨 위상군에 대하여 다음 조건들이 서로 쌍대이다.
:{| class=wikitable
! 조건 A !! 조건 B
|-
| [[국소 콤팩트]] || [[국소 콤팩트]]
|-
| 콤팩트 || [[이산 공간|이산]]
|-
| 이산 유한 || 이산 유한
|-
| 콤팩트 [[거리화 가능]] || 이산 [[가산 집합|가산]]
|-
| 콤팩트 [[연결 공간|연결]] || 이산, [[꼬임 부분군]]이 자명군
|-
| 유한 차원 실수 [[벡터 공간]] || 유한 차원 실수 [[벡터 공간]]
|-
| [[제2 가산 공간]] || [[제2 가산 공간]]
|}
임의의 하우스도르프 아벨 위상군 <math>G</math> 및 위 표의 임의의 행에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>는 조건 A를 만족시킨다.
* <math>\hat G</math>는 조건 B를 만족시킨다.
물론, <math>\hat{\hat G}\cong G</math>이므로 조건 A와 조건 B를 맞바꿀 수 있다.
이 표는 다음과 같이 [[범주의 동치]]로도 적을 수 있다.
:<math>\operatorname{HausLocCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{HausLocCompAb}</math>
:<math>\operatorname{HausCompAb}^{\operatorname{op}}\simeq\operatorname{Ab}</math>
:<math>\vdots</math>
여기서 <math>\operatorname{HausLocCompAb}</math>는 하우스도르프 국소 콤팩트 아벨 위상군과 [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]]의 범주이며, <math>\operatorname{HausCompAb}</math>는 하우스도르프 콤팩트 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주이며, <math>\operatorname{Ab}</math>는 아벨 군의 범주이다. (모든 아벨 군에는 자명하게 [[이산 위상]]을 줄 수 있으며, 두 이산 공간 사이의 임의의 함수는 항상 연속 함수이다.)
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