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라고 하자. 이 위에는 [[자리스키 위상]] 및 [[다항함수]]들의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal O_{V(\mathfrak p)}</math>을 정의할 수 있다.
 
<math>K</math>에 대한 '''대수다양체''' <math>(X,\mathcal O_X)</math>는 다음과 같은 [[순서쌍]]이다.<ref name="Arapura">{{서적 인용|이름=Donu|성=Arapura|날짜=2012|제목=Algebraic geometry over the complex numbers|출판사=Springer|총서=Universitext|isbn=978-1-4614-1808-5|doi=10.1007/978-1-4614-1809-2|zbl=1235.14001|issn=0172-5939|언어고리=en}}</ref>{{rp|32, Definition 2.4.1, 2.4.4}}
* <math>X</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
* <math>\mathcal O_X</math>는 <math>X</math> 위의, 결합 가환 <math>K</math>-대수들의 [[층 (수학)|층]]이다.
 
=== 스킴 이론을 통한 정의 ===
이 정의는 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]을 사용하여 서술할 수 있다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, '''<math>K</math>-대수다양체'''는 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>K</math>-스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어고리=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|105}}
* [[기약 스킴]]이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 [[연결 공간|연결성]]보다 더 강한 조건이다.
* [[축소 스킴]]이다. 이는 <math>K[x,y]/(y^2)</math>와 같은 [[멱영원]]의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 [[싹 (수학)|싹]]으로 해석할 수 있다.
아핀 다양체는 고대부터 [[유클리드 공간]]의 [[초곡면]]으로 오랫동안 연구되었다. 이후 [[복소수]]의 등장으로 대수기하학이 [[대수적으로 닫힌 체]]에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 [[사영기하학]]이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.
 
"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 [[앙드레 베유]]가 1946년에 제안하였다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}}<ref>{{서적 인용|성=Weil|이름=André|저자고리=앙드레 베유|연도=1946|제목=Foundations of Algebraic Geometry|기타=American Mathematical Society Colloquium Publications 29|위치=Providence, Rhode Island|출판사=American Mathematical Society|언어고리=en}}</ref> 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 [[야코비 다양체]]를 정의하려고 정의했는데,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}} 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 [[야코비 다양체]]를 정의하려고 정의했는데,<ref>{{서적 인용|이름=A.|성=Weil|저자고리=앙드레 베유|제목="Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques|출판사=Hermann|날짜=1946|mr=0029522|zbl= 0208.49202|언어고리=fr}}</ref><ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}} 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 [[저우웨이량]]이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였고,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}}<ref>{{저널 인용|이름=W.L.|성=Chow|저자고리=저우웨이량|제목=The Jacobian variety of an algebraic curve|저널=American Journal of Mathematics|권= 76|날짜= 1954|쪽=453–476|mr=0061421|zbl=0056.14404|언어고리=en}}</ref><ref name="Hartshorne"/>{{rp|105, Remark 4.10.2}} 1956년에 [[나가타 마사요시]]가 준사영 다양체가 아닌 대수다양체가 존재함을 증명하였다.<ref name="Nagata">{{저널 인용|성=Nagata|이름=M.|저자고리=나가타 마사요시|제목=On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties|저널=Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics|권=30|호=1|쪽=71–82|mr=88035|zbl=0075.16003|url=
http://projecteuclid.org/euclid.kjm/1250777138|언어고리=en}}</ref>
 

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