오비폴드: 두 판 사이의 차이
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기하학에서, '''오비폴드'''({{llang|en|orbifold}})는 국소적으로 [[유한군]]의 선형작용에 대한 [[유클리드 공간]]의 [[몫공간]]과 [[동형]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 오비폴드는 일반적으로 [[특이점]]을 갖기 때문에 [[다양체]]가 아니나, 다양체를 일반화한 것으로 볼 수 있다.
[[수학]]에서 연구되는 분야였지만 최근 [[물리학]]의 [[끈 이론]]과 함께 발전해 왔다.
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* <math>\phi_j\circ\psi_{ij}=\phi_i</math>
* 다른 모든 추이 사상<math>V_i\to V_j</math>는 <math>g\psi_{ij}</math>의 꼴이다 (여기서 <math>g\in\Gamma_j</math>).
<math>G</math>가 [[이산군]]이라고 하고, <math>M</math>이 [[매끄러운 함수|매끄럽고]] [[충실한 작용]] <math>G\times M\to M</math>이 주어진 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면 [[몫공간]]▼
:<math>M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)</math>▼
은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 '''축소 오비폴드'''({{llang|en|reduced orbifold}})라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 ([[유클리드 공간]]의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. [[끈 이론]]에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, [[유클리드 공간]]의 몫공간 <math>\mathbb R^n/\Gamma</math> 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.▼
== 오일러 지표와 코호몰로지 ==
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== 예 ==
모든 [[매끄러운 다양체]]는 자명하게 (축소) 오비폴드를 이룬다. 또한, 경계를 갖는 매끄러운 다양체({{llang|en|manifold with boundary}}) 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계를 갖는 다양체 <math>M</math>이 주어지면, 그 '''이중 덮개'''({{llang|en|double}})를 다음과 같이 정의하자.▼
▲<math>G</math>가 [[이산군]]이라고 하고, <math>M</math>이 [[매끄러운 함수|매끄럽고]] [[충실한 작용]] <math>G\times M\to M</math>이 주어진 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. 그렇다면 [[몫공간]]
▲:<math>M/G=M/(x\sim g\cdot x\forall g\in G,x\in M)</math>
▲은 자연스럽게 오비폴드 구조를 갖는다. 이런 꼴로 나타낼 수 있는 오비폴드를 '''축소 오비폴드'''({{llang|en|reduced orbifold}})라고 한다. 하지만 축소 오비폴드가 아닌 오비폴드도 존재한다. 즉, 오비폴드는 항상 국소적으로 ([[유클리드 공간]]의) 군의 작용에 대한 몫공간이지만, 대역적으로 군의 작용에 대한 몫공간이 아닐 수 있다. [[끈 이론]]에서는 보통 모든 오비폴드를 축소 오비폴드로 가정한다. 특히, [[유클리드 공간]]의 몫공간 <math>\mathbb R^n/\Gamma</math> 꼴의 공간을 오비폴드라고 부른다.
▲또한, 경계를 갖는 다양체({{llang|en|manifold with boundary}}) 또한 자연스럽게 축소 오비폴드를 이룬다. 경계를 갖는 다양체 <math>M</math>이 주어지면, 그 '''이중 덮개'''({{llang|en|double}})를 다음과 같이 정의하자.
:<math>D(M)=M\times\{0,1\}/((x,0)\sim(x,1)\forall x\in\partial M)</math>
즉, <math>M</math>의 두 개의 복사본의 각 경계를 이어붙여 얻는다. <math>M</math>의 이중덮개는 (경계를 갖지 않는) 다양체이다. 이 경우, <math>M</math>은 다음과 같은 [[몫공간]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>M=D(M)/\mathbb Z_2</math>
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1차원 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] 오비폴드는 [[원 (기하)|원]] <math>S^1</math>과 선분 <math>[0,1]</math>밖에 없다. 원은 매끄러운 다양체이다. 선분은 경계를 갖는 다양체이자, 원
사타케 이치로({{ja-y|佐武 一郎|さたけ いちろう}})가 1956년에 ‘''V''-다양체’({{llang|en|''V''-manifold}})라는 이름으로 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ichiro|성=Satake|title=On a generalization of the notion of manifold|doi=10.1073/pnas.42.6.359|issn=0027-8424|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|권=42|issue=6|날짜=1956-06-01|쪽=359–363|mr=0079769}}</ref> [[윌리엄 서스턴]]이 1980년 재발견하였고, ‘오비폴드’({{llang|en|orbifold}})라는 이름을 붙였다.<ref name="Thurston">{{웹 인용|이름=William|성=Thurston|저자고리=윌리엄 서스턴|제목=The geometry and topology of three-manifolds|출판사=Princeton University|기타=(강의 노트)|날짜=1980|url=http://library.msri.org/books/gt3m▼
:<math>S^1\cong\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
의 [[몫공간]]
:<math>\operatorname U(1)/(z\sim\bar z)</math>
으로서, 축소 오비폴드로 나타낼 수 있다.
=== 2차원 오비폴드 ===
2차원에서 가능한 오비폴드 특이점은 다음과 같다. 군의 작용을 나타낼 때, 편의상 평면의 점을 복소수로 표기하였다.
* 경계선 <math>\mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(2)</math>, <math>z\sim \bar z</math>.
* <math>n</math>차 원뿔형 꼭짓점 <math>\mathbb R^2/\operatorname{Cyc}(n)</math>, <math>z\sim\exp(2\pi i/n)z</math> (<math>n=2,3,4,\dots</math>)
* 각도 <math>\pi/n</math>의 꼭짓점 <math>\mathbb R/\operatorname{Dih}(n)</math>, <math>z\sim\bar z\sim
\exp(2\pi i/n) z</math> (<math>n=2,3,4,\dots</math>)
== 역사 ==
▲사타케 이치로({{ja-y|佐武 一郎|さたけ いちろう}})가 1956년에 ‘''V''-다양체’({{llang|en|''V''-manifold}})라는 이름으로 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Ichiro|성=Satake|title=On
}}</ref>
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