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18번째 줄: 그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다. == 스펙트럼 열의 구성 == == 완전쌍 ==▼ 스펙트럼 열은 보통 '''완전쌍'''이나 사슬 복합체의 '''[[여과 (수학)\|여과]]'''로부터 발생한다. 어떤 [[아벨 범주]] 속에서의 '''완전쌍'''(完全雙, {{llang\|en\|exact couple}}) <math>(A,C,f,g,h)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.▼ * 두 개의 대상 <math>A</math>, <math>C</math>▼ ▲=== 완전쌍 === * 사상 <math>A\xrightarrow fA\xrightarrow g C\xrightarrow hA</math>▼ ▲어떤 [[아벨 범주]] 속에서의 '''완전쌍'''(完全雙, {{llang\|en\|exact couple}}) <math>(A,CE,f,g,h)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다. ▲* 두 개의 대상 <math>A</math>, <math>CE</math> ▲* 사상 <math>A\xrightarrow fA\xrightarrow g CE\xrightarrow hA</math> 이들은 :<math>\operatorname{im}f=\ker g</math> 줄 30 ⟶ 33: A\qquad&\xrightarrow f&\qquad A\\ {\scriptstyle h}\nwarrow&&\swarrow\scriptstyle g\\ &CE \end{matrix}</math> 완전쌍 <math>(A,CE,f,g,h)</math>의 '''유도 완전쌍'''(誘導完全雙, {{llang\|en\|derived exact couple}}) <math>(A',CE',f',g',h')</math>은 다음과 같은 완전쌍이다. * <math>d=g\circ h</math> * <math>A'=\operatorname{im}f</math> * <math>CE'=\ker d/\operatorname{im}d</math> * <math>f'=f\|_A\colon A'\to A'</math> * <math>g'\colon A'\to CE'</math>는 (모든 아벨 범주는 [[구체적 범주]]로 나타낼 수 있으므로) <math>g'\colon a'\mapsto g(f^{-1}(a'))</math>이다. 이 경우, <math>f^{-1}(a')</math>의 선택이 상관없음을 보일 수 있다. * <math>h'\colon CE'\to A'</math>는 <math>h\colon C\to A</math>에 의하여 유도된다. 즉, <math>h\colon[ce]\mapsto h(ce)</math>이다. 이 경우, <math>g(h(ce))=0</math>이므로 항상 <math>g(h(ce))=f(a)</math>인 <math>a\in A</math>가 존재하며, 따라서 <math>h(ce)\in f(A)=A'</math>이다. 이를 반복하여, <math>n</math>차 유도 완전쌍 <math>(A^{(n)},CE^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면, :<math>CE^{(0)} \stackrel d\Rightarrow CE^{(1)}\stackrel{d^{(1)}}\Rightarrow CE^{(2)}\Rightarrow\cdots</math> 는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, <math>A</math> 및 <math>C</math>는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다. === 여과 복합체의 스펙트럼 열 === 사슬 복합체 <math>(C_\bullet,\partial_\bullet)</math>에 증가하는 [[여과 (수학)\|여과]] <math>F_\bullet(C_\bullet)</math>가 주어졌다고 하자. 즉, :<math>F_pC_\bullet\subseteq F_{p+1}C_\bullet</math> 라고 하자. 또한, 경계 <math>\partial</math>가 여과와 호환된다고 하자. 즉, :<math>\partial(F_pC_n)\subseteq \partial(F_pC_{n+1})</math> 이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다. :<math>\begin{matrix} &&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ \cdots&\to&H_{n+1}(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H_{n+1}(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow h&H_n(F_{p-1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H_n(F_{p-1}C^\bullet/F_{p-2}C^\bullet)&\to&\cdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ \cdots&\to&H_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet)&\xrightarrow g&H_{n+1}(F_{p+1}C^\bullet/F_pC^\bullet)&\xrightarrow h&H_n(F_pC^\bullet)&\xrightarrow g&H_n(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)&\to&\cdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ &&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots \end{matrix}</math> 여기에 :<math>A=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet)</math> :<math>E=\bigoplus_{p,q} H_q(F_pC^\bullet/F_{p-1}C^\bullet)</math> 를 정의한다면, * <math>f\colon A\to A</math> * <math>g\colon A\to E</math> * <math>h\colon E\to A</math> 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다. == 예 == <math>X</math>가 [[세포 복합체]]이며, <math>X_p</math>가 그 <math>p</math>차원 세포들로 구성된 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다. :<math>\begin{matrix} &&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ \cdots&\to&H_{n+1}(X_p)&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_p,X_{p-1})&\xrightarrow h&H_n(X_{p-1})&\xrightarrow g&H_n(X_{p-1},X_{p-2})&\to&\cdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ \cdots&\to&H_{n+1}(X_{p+1})&\xrightarrow g&H_{n+1}(X_{p+1},X_p)&\xrightarrow h&H_n(X_p)&\xrightarrow g&H_n(X_p,X_{p-1})&\to&\cdots\\ &&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f&&\downarrow\\ &&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots \end{matrix}</math> 이에 따라, :<math>A=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p)</math> :<math>E=\bigoplus_{p,q} H_q(X_p, X_{p-1})</math> 로 놓으면, * <math>f\colon A\to A</math> * <math>g\colon A\to E</math> * <math>h\colon E\to A</math> 를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 <math>E^2_{p,q}</math>에서 끝난다. 이를 통해, [[세포 코호몰로지]]가 [[특이 코호몰로지]]와 동형임을 보일 수 있다. == 역사 == 줄 59 ⟶ 106: * {{매스월드\|id=SpectralSequence\|title=Spectral sequence\|저자=Renze, John}} * {{eom\|title=Spectral sequence}} * {{nlab\|id=spectral sequence\|title=Spectral sequence}} * {{nlab\|id=exact couple\|title=Exact couple}} * {{nlab\|id=spectral sequence of a filtered complex\|title=Spectral sequence of a filtered complex}} * {{nlab\|id=spectral sequence of a double complex\|title=Spectral sequence of a double complex}} * {{nlab\|id=Frölicher spectral sequence}} * {{nlab\|id=Hodge–de Rham spectral sequence}} * {{nlab\|id=degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence\|title=Degeneration of Hodge to de Rham spectral sequence}} [[분류:호몰로지 대수학]]

스펙트럼 열: 두 판 사이의 차이