2015년 3월 30일 (월) 09:09 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2015년 6월 21일 (일) 10:15 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
1번째 줄: [[범주론]]에서, '''~~수반함자~~수반 함자'''(隨伴函子, {{llang\|en\|adjoint functor}}) 또는 '''~~딸림함자~~딸림 함자'''(-函子)는 두 개의 [[함자 (수학)\|함자]]가 서로간에 가질 수 있는 일종의 밀접한 관계이다. 이는 수학의 많은 분야에서 널리 나타나는 관계이며, [[범주론]]의 연구 대상이다. == 정의 == 두 범주 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 두 [[함자 (수학)\|함자]] C와 D가 [[범주 (수학)\|범주]]이고, F : C → D와 G : D → C가 [[함자 (수학)\|함자]]라 하자. 이때 C의 임의의 대상 X와 D의 임의의 대상 Y에 대해 [[동형사상]] Φ<sub>X,Y</sub> : Hom<sub>D</sub>(F(X),Y) → Hom<sub>C</sub>(X,G(Y))들로 이루어진 [[자연동형사상]] Φ : Hom<sub>D</sub>(F–, –) → Hom<sub>C</sub>(–, G–)이 존재할 경우, F를 G의 '''좌수반함자'''(左隨伴函子, {{llang\|en\|left-adjoint functor}}))라 하고, G를 F의 '''우수반함자'''(右隨伴函子, {{llang\|en\|right-adjoint functor}})라 한다. 많은 경우 좌우를 구분하지 않고 이들이 서로에 대해 '''수반함자'''라고도 한다. :<math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math> :<math>G\colon\mathcal D\to\mathcal C</math> 가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math> 및 <math>Y\in\mathcal D</math>에 대하여, [[동형 사상]] :<math>\Phi_{X,Y}\colon\hom_{\mathcal D}(F(X),Y)\to\hom_{\mathcal C}(X,G(Y))</math> 로 구성된 [[자연 동형]] :<math>\Phi\colon\hom_{\mathcal D}(F(-),-)\Rightarrow\hom_{\mathcal C}(-,G(-))</math> 이 존재한다면, <math>F</math>를 <math>G</math>의 '''왼쪽 수반 함자'''(-隨伴函子, {{llang\|en\|left-adjoint functor}}))라고 하고, <math>G</math>를 <math>F</math>의 '''오른쪽 수반 함자'''(右隨伴函子, {{llang\|en\|right-adjoint functor}})라고 한다. 이는 기호로 :<math>F\dashv G</math> 또는 :<math>F\colon\mathcal C{\to\atop\leftarrow}\mathcal D\colon G</math> 와 같이 쓴다. == 성질 == 함자 <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>가 다음 조건을 만족하는 함자라고 하자. * <math>\mathcal C</math>는 [[완비 범주]]이다. * <math>\mathcal C</math>는 [[국소적으로 작은 범주]]이다. (즉, 모든 사상 모임이 [[집합]]을 이룬다.) * ('''해 집합 조건''' {{llang\|en\|solution set condition}}) 임의의 대상 <math>X\in\mathcal D</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 대상들의 집합 <math>\{\tilde X_i\}_{i\in I}</math> 및 사상들의 집합 <math>\{f_i\colon X\to F(\tilde X_i)\}_{i\in I}</math>이 존재한다. :임의의 <math>\tilde Y\in\mathcal C</math> 및 사상 <math>g\colon X\to F(\tilde Y)</math>에 대하여, <math>g= F(\tilde g)\circ f_i</math>를 만족시키는 <math>i\in I</math> 및 <math>\tilde g\colon\tilde X_i\to\tilde Y</math>가 존재한다. '''수반 함자 정리'''({{llang\|en\|adjoint functor theorem}})에 따르면, <math>F</math>는 항상 오른쪽 수반 함자를 갖는다. == 예 == === 망각-자유 수반 === [[대수 구조 다양체]]의 범주 <math>\mathcal V</math>에서, 망각 함자 :<math>\operatorname{Forget}\colon\mathcal V\to\operatorname{Set}</math> 는 자유 대수 함자 :<math>\operatorname{Free}\colon\operatorname{Set}\to\mathcal V</math> 의 왼쪽 수반 함자를 이룬다. :<math>\operatorname{Forget}\dashv\operatorname{Free}</math> === 곱-지수 수반 === [[데카르트 닫힌 범주]] <math>\mathcal C</math>의 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[곱 (범주론)\|곱]] 함자 :<math>-\times X\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> :<math>-\times X\colon Y\mapsto Y\times Y</math> 는 [[지수 대상]] 함자 :<math>(-)^X\colon\mathcal C\to\mathcal C</math> :<math>(-)^X\colon Y\mapsto Y^X</math> 의 왼쪽 수반 함자를 이룬다. :<math>-\times X\dashv(-)^X</math> 다른 범주의 경우, 지수 대상 함자가 왼쪽 수반을 가지지만, 이 함자가 범주론적 [[곱 (범주론)\|곱]]이 아닌 경우가 있다. 이 경우, 왼쪽 수반은 보통 '''[[텐서곱]]'''이라고 한다. (예를 들어, 유한 차원 벡터 공간의 범주의 경우 텐서곱은 통상적인 벡터 공간의 텐서곱 <math>\otimes</math>이다.) == 바깥 고리 == 줄 10 ⟶ 49: {{nlab\|id=right functor\|title=Right functor}} * {{nlab\|id=examples of adjoint functors\|title=Examples of adjoint functors}} * {{nlab\|id=adjoint functor theorem\|title=Adjoint functor theorem}} * {{nlab\|id=solution set condition\|title=Solution set condition}} ~~{{토막글\|수학}}~~ [[분류:수반함자\| ]]

수반 함자: 두 판 사이의 차이