직교군: 두 판 사이의 차이
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부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
:<math>\pi_1(\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R))=\pi_1(\operatorname{SO}(p;\mathbb R))\times\pi_1(\operatorname{SO}(q;\mathbb R))</math>
==== 보트 주기성 ====
[[호프 올뭉치]]
:<math>\operatorname O(n)\hookrightarrow\operatorname O(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^n</math>
로 인하여, 만약 <math>i<n-1</math>이라면
:<math>\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))</math>
이다.<ref name="Karoubi">{{서적 인용|제목=Handbook of K-theory. Volume 1|장=Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory|이름=Max|성=Karoubi|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-111-138.pdf|url= http://k-theory.org/handbook/|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_4|쪽=111–137|언어고리=en}}</ref>{{rp|112}} 즉, 직교군의 [[호모토피 군]]들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|113}}
:<math>\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\cong2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\cong0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\cong3,7\pmod8
\end{cases}\qquad(i<n-1)</math>
이 주기성을 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이라고 한다.
이에 따라, 다음과 같은 '''무한 직교군''' <math>\operatorname O(\infty)</math>을 범주론적 [[쌍대극한]]으로 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname O(\infty)=\varinjlim_n\operatorname O(n)</math>
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
:<math>\pi_i(\operatorname O(\infty))==\begin{cases}0&i\cong2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\cong0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\cong3,7\pmod8
\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 [[고리 공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|112, Theorem 1}}
:<math>\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)</math>
무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] 실수 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 직교군 <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 <math>\operatorname O(\infty)</math>와 다르다. [[작용소 노름]]에 의한 위상을 주었을 때, <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 [[축약 가능 공간]]이며, 따라서 모든 [[호모토피 군]]이 자명하다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0040-9383(65)90067-4|제목=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space|이름=Nicolaas H.|성=Kuiper|저널=Topology|권=3|호=1|쪽=19–30|날짜=1965|언어고리=en}}</ref>
:<math>\pi_i(\operatorname O(\mathcal H))=0\quad\forall i</math>
=== 포함 관계 ===
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