직교군: 두 판 사이의 차이
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132번째 줄:
\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8
\end{cases}\qquad(i<n-1)</math>
이 주기성을 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
{| class="wikitable"
이에 따라, 다음과 같은 '''무한 직교군''' <math>\operatorname O(\infty)</math>을 범주론적 [[쌍대극한]]으로 정의할 수 있다.▼
|-
! 군
!style="width:3em"| π<sub>1</sub>
!style="width:3em"| π<sub>2</sub>
!style="width:3em"| π<sub>3</sub>
!style="width:3em"| π<sub>4</sub>
!style="width:3em"| π<sub>5</sub>
!style="width:3em"| π<sub>6</sub>
!style="width:3em"| π<sub>7</sub>
!style="width:3em"| π<sub>8</sub>
!style="width:3em"| π<sub>9</sub>
|-
| SO(2) || ℤ || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| SO(3)
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>12</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>3</sub>
|-
| SO(4)
|| ℤ<sub>2</sub>
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>12</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>2</sub>)<sup>2</sup> || (ℤ<sub>3</sub>)<sup>2</sup>
|-
| SO(5) || ℤ<sub>2</sub> || 0
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | ℤ || ℤ<sub>2</sub> || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ || 0 || 0
|-
| SO(6) || ℤ<sub>2</sub> || 0 || ℤ
| style="border-top: solid black 2px; border-right: solid black 2px" | 0 || ℤ || 0 || ℤ || ℤ<sub>24</sub> || ℤ<sub>2</sub>
|}
:<math>\operatorname O(\infty)=\varinjlim_n\operatorname O(n)</math>
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
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