2015년 8월 11일 (화) 06:57 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 →‎위상 공간 위의 분리 준층과 층 ← 이전 편집		2015년 8월 11일 (화) 07:11 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 편집 요약 없음 다음 편집 →
10번째 줄: === 준층 === [[범주 (수학)\|범주]] <math>\mathcal X</math> 위의, [[범주 (수학)\|범주]] <math>\mathcal C</math>의 값을 갖는 '''준층'''(準層, {{llang\|en\|presheaf\|프리시프}}, {{llang\|fr\|préfaisceau\|프레페소}})은 [[함자 (수학)\|함자]] <math>\mathcal F\colon\mathcal X^{\operatorname{op}}\to\mathcal C</math>이다. 여기서 <math>^{\operatorname{op}}</math>은 반대 범주(사상의 방향이 뒤집한 범주)를 뜻한다. 준층을 대상으로 하고, 준층 사이의 [[자연 변환]]을 사상으로 하는 범주를 <math>\operatorname{PSh}(X,\mathcal C)</math>라고 한다. 준층 <math>\mathcal F\in\operatorname{PSh}(\mathcal X,\mathcal C)</math>의, ~~[[열린집합]]~~대상 <math>U\in \~~operatorname{Ob}(~~mathcal X)</math> 위에서의 '''단면'''(斷面, {{llang\|en\|section}})들로 구성된 대상 <math>\Gamma(U,\mathcal F)\in\mathcal C</math>은 :<math>\Gamma(U,\mathcal F)=\mathcal F(U)\in~~\operatorname{Ob}(~~ \mathcal C)</math> 이다. 고전적인 경우는 <math>\mathcal X</math>가 [[위상 공간 (수학)\|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린집합]]들의 ~~범주인~~범주 <math>\mathcal X=\operatorname{Open}(X)</math>인 경우다. 이 경우, * 대상은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다. * 만약 두 [[열린집합]] <math>U,V</math>에 대하여, <math>U\subseteq V</math>라면 <math>\hom(U,V)</math>은 [[한원소 집합]] <math>\{\iota_{UV}\}</math>이며, 아니면 <math>\hom(U,V)=\varnothing</math>이다. 여기서 <math>\iota_{UV}\colon U\to V</math>는 포함 함수이다. 27번째 줄: === 분리 준층과 층 === 아래 정의에서, <math>\mathcal C=\operatorname{Set}</math>인 경우를 생각하자. (만약 <math>\mathcal C</math>가 [[구체적 범주]]라면, 이를 집합의 범주의 부분 범주로 여겨 아래 정의를 자명하게 일반화할 수 있다.) 범주 <math>\mathcal X</math> 속에 대상 <math>U\in\mathcal X</math>가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal X</math> 위에는 [[요네다 매장]]으로 인한 준층 줄 36 ⟶ 38: 를 정의할 수 있다. 각 준층 사상 <math>f\colon\hom_{\mathcal X}(-,U)\to\mathcal F</math>은 <math>U</math>의 각 "열린 부분 집합"에 <math>\mathcal F</math>의 단면을 대응시킨다. <math>\mathcal X</math> 위에 [[그로텐디크 위상]] <math>\mathfrak J</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 대상 <math>U\in\mathcal X</math>에 대하여, 덮개체들의 집합 <math>\mathcal J(U)</math>이 존재하며, 각 덮개체 <math>\mathcal S\in\mathfrak J(U)</math>는 <math>\mathcal X</math> 위의 준층을 이룬다. 마찬가지로, 준층 사상들의 집합 ~~:<math>\mathfrak J(U)=\{\mathcal S_i\}_{i\in I}</math>~~ ~~:<math>\mathcal S_i\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}</math>~~ ~~이 존재한다. 각 덮개체 <math>\mathcal S_i</math>는 <math>\mathcal C</math> 위의 준층을 이룬다. 마찬가지로, 준층 사상들의 집합~~ :<math>\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)</math> 를 정의할 수 있다. 각 준층 사상 <math>f\colon\mathcal S\to\mathcal F</math>는 <math>U</math>의 덮개에 속하는 각 "열린 부분 집합"에 <math>\mathcal F</math>의 단면을 대응시킨다. 덮개체 <math>\mathcal ~~S_i~~S\in\mathfrak J(U)</math>는 정의에 따라 <math>\hom(-,U)</math>의 부분 함자이므로, 자연스러운 제약 함수 :<math>\operatorname{res}_{\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal S}\colon\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\hom_{\mathcal X}(-,U),\mathcal F)\to\hom_{\operatorname{PSh}(\mathcal X)}(\mathcal S,\mathcal F)</math> 가 존재한다. 이 경우, 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.

층 (수학): 두 판 사이의 차이