아델 환: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
=== 정수 아델 환 ===
정수환 <math>\mathbb Z</math>의 [[사유한 완비]] <math>\hat{\mathbb Z}</math>는 다음과 같다.
:<math>\hat{\mathbb Z}\stackrel{\text{def}}=\varprojlim\mathbb Z/n=\prod_p\mathbb Z_p</math>
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'''정수 아델 환'''({{llang|en|ring of integral adèles}}) <math>\mathbb A_{\mathbb Z}</math>는 다음과 같다.
:<math>\mathbb A_{\mathbb Z}=\mathbb R\times\hat{\mathbb Z}</math>
[[대수적 수체]] <math>K</math>에 대한 '''아델 환''' <math>\mathbb A_K</math>는 다음과 같다.▼
=== 대역체의 이델 환 ===
:<math>\mathbb A_K=\prod_v'K_v</math>
여기서 <math>K_v</math>는 자리 <math>v</math>에 대한 완비화 [[국소체]]이며, <math>\prod_v'</math>는 모든 [[자리 (수론)|자리]]에 대한 제약된 곱이다. 여기서 "제약된 곱"이란 다음 조건을 말한다.
:<math>\forall a\in\mathbb A_K\colon\{v\colon v(a_v)>0\}<\aleph_0</math>
즉, 유한 개의 원소들을 제외한 나머지는 모두 국소체의 대수적 정수환에 속해야 한다.
만약 <math>K</math>가 [[대수적 수체]] <math>K</math>인 경우, 아델 환은 다음과 같이 정수 아델 환으로 나탈 수도 있다.
:<math>\mathbb A_K=K\otimes_{\mathbb Z}\mathbb A_{\mathbb Z}</math>
예를 들어, 유리 아델 환은 다음과 같다.
:<math>\mathbb A_{\mathbb Q}=\mathbb R\times\prod_p'\mathbb Q_p</math>
여기서 <math>\mathbb Q_p</math>는 [[p진수]]체이고, <math>\prod'</math>는 다음과 같이 정의된, 제약된 곱을 의미한다. <math>\mathbb A_{\mathbb Q}</math>의 원소 <math>(a_\infty,a_2,a_3,a_5,\dots)</math> 가운데, 유한개의 원소를 제외한 나머지는 모두 p진 정수이어야 한다.
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