피복 공간: 두 판 사이의 차이
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== 성질 ==
피복 공간 <math>(F,E,B,\pi)</math>의 사영 함수 <math>\pi</math>는 항상 [[열린 함수]]이다.
두 [[준군]] <math>E</math>, <math>B</math> 사이의 '''피복 사상''' <math>\pi\colon E\to B</math>을, 다음과 같은 '''호모토피 올림 성질'''({{llang|en|homotopy lifting property}})을 만족시키는 준군 사상으로 정의하자.
* 임의의 <math>E</math>의 대상 <math>\tilde x\in\operatorname{Ob}(E)</math> 및 <math>B</math>의 사상 <math>g\colon p(x)\to y</math>에 대하여, <math>\pi(\tilde y)=y</math>이며 <math>\pi(\tilde g)=g</math>인 대상 <math>\tilde e\in\operatorname{Ob}(E)</math> 및 사상 <math>\tilde g\colon\tilde x\to\tilde y</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\tilde x\xrightarrow{\exists!\tilde g}\exists!\tilde y\\
\Downarrow\pi\\
\pi(\tilde x)\xrightarrow gy
\end{matrix}</math>
<math>B</math>가
* [[연결 공간]]이며,
* [[경로 연결 공간]]이며,
* [[국소 경로 연결 공간]]이며,
* [[반국소 단일 연결 공간]]({{llang|en|semi-locally simply connected space}})
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[범주의 동치]]가 존재한다.<ref>{{서적 인용|이름=Ronnie|성=Brown|제목=Topology and Groupoids|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/topgpds.html|언어고리=en}}</ref>
:<math>\operatorname{TopCov}(B)\simeq\operatorname{GpdCov}(\pi_1B)</math>
여기서
* <math>\operatorname{TopCov}(B)</math>는 <math>B</math>의 피복 공간들의 범주이다.
* <math>\pi_1B</math>는 <math>B</math>의 [[기본 준군]]이다.
* <math>\operatorname{GpdCov}(\pi_1B)</math>는 <math>\pi_1B</math> 위의 준군 피복 사상들의 범주이다.
특히, 다음이 성립한다.
* <math>B</math> 위의 피복 공간(들의 동치류)들은 [[기본군]] <math>\pi_1(B)</math>의 부분군들의 켤레 동치류들과 [[일대일 대응]]한다.
* <math>B</math>의 범피복 공간이 존재하며, (동치 아래) 유일하다.
== 역사 ==
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