극값: 두 판 사이의 차이

===증명===

'''보조정리''': 어떤 <math>n\times n</math> 실수행렬 <math>B=\left[ b_{ij}\right]</math>가 있을 때 이차 함수 <math>H:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\left( h_1,\dots h_n\right)\mapsto\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^nb_{ij}h_ih_j</math>를 정의하자. 만약 <math>H</math>가 [[양의 정부호]]라면 모든 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>가 <math>H\left(\mathbf{h}\right)\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right \|^2</math>을 만족하는 양의 실수 <math>M</math>이 존재한다.

 

<math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{0}</math>이므로 [[테일러 정리]]에 의하여 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)</math>이다. 여기서 <math>\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}}\frac{R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)}{\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2}=0</math>이다. 만약 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[양의 정부호]]라면 '''보조 정리'''에 의하여 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}\ge M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2</math>를 만족하는 양의 실수 <math>M</math>이 존재하며 [[함수의 극한|극한]]의 정의에 의하여 <math>0<\left\Vert\mathbf{h}\right\| <\delta\Rightarrow\| R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right)\| <M\left\Vert\mathbf{h}\right\|^2</math>을 만족하는 양의 실수 <math>\delta</math>가 존재한다. 따라서 <math>0<\left\Vert\mathbf{h}\right\| <\delta</math>일 때 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) -f\left(\mathbf{x}_0\right) =\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}+R_2\left(\mathbf{x}_0,\mathbf{h}\right) >0</math>, 즉 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) >f\left(\mathbf{x}_0\right)</math>이다. 그러므로 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극소이다. 비슷한 방식으로 <math>\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\mathbf{h}</math>가 [[음의 정부호]]이면 <math>\mathbf{x}_0</math>에서 극대이다.

 

==같이 보기==

*[[라그랑주 승수법]]